最优化方法与最优控制

本书是为研究生课程最优化理论或最优控制系统编写的教材，书中深入浅出地阐述了最优化方法和最优控制系统的基础理论、基本方法，侧重节本原理和应用，对于基本定理，避开严格的数学证明，而给出原理上和概念上的简洁阐述，使读者易于理解并能牢固地掌握基本概念和基本理论。此外，每章后面都配有丰富的例题和习题，帮助读者理解书中所阐述的内容。

第1章　最优化方法的一般概念

1.1　目标函数、约束条件和求解方法

1.2　静态最优化问题与动态最优化问题

1.3　线性规划和非线性规划问题

1.4　最优化方法在控制领域中的应用

习题

第2章　非线性规划

2.1　一元函数的极小化

2.2　多元函数无约束的极小化

2.3　求解多元函数无约束极值的直接法

2.4　多元函数带约束极小化

2.5　非线性规划应用举例

习题

第3章　线性规划

3.1　线性规划的数学模型

3.2　图解法

3.3　线性规划的数学基础

3.4　线性规划的单纯形法

3.5　线性规划的对偶问题

3.6　对偶单纯形法

3.7　线性规划应用举例

习题

第4章　最优控制与变分法

4.1　最优控制问题的数学描述

4.2　无约束条件的动态最优化问题

4.3　带等式约束的动态最优化问题

4.4　用哈密顿函数求解最优控制问题

习题

第5章　最小值原理

5.1　最小值原理

5.2　快速最优控制

5.3　奇异最优控制

5.4　一些典型性能指标下的最优控制

习题

第6章　线性二次型最优控制系统

6.1　线性二次型最优控制系统

6.2　状态调节问题

6.3　tf—8时的状态调节问题

6.4　能够保证衰减速度的最优控制

6.5　在阶跃干扰作用下的状态调节器

6.6　输出调节问题

6.7　最优跟踪问题

习题

第7章　动态规划

7.1　多级决策过程

7.2　最优性原理

7.3　离散系统的线性调节问题

7.4　动态规划的连续形式

7.5　用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题

7.6　动态规划的应用示例

习题

参考文献2100433B

本书深入浅出地阐述了最优化方法和最优控制系统的基础理论、基本方法，并配有丰富的例题和习题，帮助读者理解书申所阐述的内容。

本书的内容分为两大部分，第一部分包括第1章、第2章和第3章，阐述了最优化方法的一般概念和静态最优化方法（线性规划和非线性规划）的一些基本理论和计算方法；第二部分包括第4章至第7章，阐述了动态最优化方法的基本内容，包括变分极值问题、最小值原理、线性二次型最优控制系统和动态规划的各种基本算法。

本书各章节注重基本原理和基本概念的阐述，容易理解。

非线性最优控制线性最优控制

线性最优控制（linear optimal control）最优控制问题的实质是要找出允许的控制作用（规律），使得动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到最小（大）。线性最优控制是特指那类受控对象为线性时不变系统的最优控制。

线性最优控制是最优控制的一个特殊类。在线性最优控制中，受控制的装置假设为线性的，而控制器，即产生最优控制作用的装置也限于是线性的。这就是说，控制器输出即最优控制是与输人线性相关，而输人则是对装置进行测量而产生的量。当然，人们一定会问，为什么要特别地研究线性最优控制，而不直接研究最优控制呢？这里可以提出一些理由。例如，工程上许多实际装置在其附加控制器之前是线性的，而 且线性控制器在技术上是最易实现的，且它往往能满足需要。

非线性最优控制区别

线性和非线性最优控制理论之间既有相似之处更有重大区别。当系统为线性的时候，它的解可以由转移函数表出，特别是在定常情况下，转移函数有具体表达式，这就为我们的分析提供了十分便和之处。另一方面，在最大值原理基础上获得的Hamilton函数关于控制的偏导呈现相对简单的形式，往往可以求出最优反馈率，从而完全解决最优控制问题。非线性的情况则复杂得多，对它的研究也不够彻底，许多方面还有待进一步深入。这个领域的研究有一个十分明显的特点，那就是多种数学理论和方法的综合运用，包括非线性泛函分析、代数、和微分几何方法等等。

线性最优控制所要求的计算机程序往往可以用于非线性最优控制问题。

非线性最优控制简介

解决最优控制问题最大的难点在于HJB方程的求解，只有当系统模型是低阶线性模型时，才有可能给出具有显式表达式的最优控制解。在实际系统里，乃至自然界中，几乎绝大多数系统都是非线性的系统，想得到具有显式表达式的控制量几乎不可能，这就需要借助计算机，以及选择合适的最优的数值解法，以得到最优解。一般的，最优控制问题的求解方法为数值算法。极大值原理和动态规划从理论方面研究了最优控制所应遵循的方程和条件，而最优控制的数值算法则是从计算方面来确定最优控制量的具体方法和步骤。

评价最优控制数值算法优劣的三个主要方面是算法的收敛性、计算复杂性以及数值稳定性。算法的收敛性是保证计算过程能达到正确结果的前提。算法的计算复杂性也尤其重要，这对实时控制具有特别重要的意义。一个好的算法应使计算量和存储量尽可能小，以便能由尽可能简单的计算机来实现计算。好的算法还应具有较好的数值稳定性，即计算的结果对初始数据和运算过程的误差不能过于敏感，同时具有处理病态问题的能力。典型的最优控制数值算法包括:求解由极大值原理导出的微分或差分方程的两点边值问题的各种算法，对动态规划中的贝尔曼方程进行数值求解_的算法，求解线性二次型最优控制问题的黎卡提方程的各种算法，处理控制或状态受约束问题的惩罚函数法，在控制策略的函数空间中利用搜索寻优或梯度寻优技术和牛顿一拉夫森方法等直接求解非线性系统最优控制问题的算法等。其中，针对非线性系统的开环最优控制问题和线性二次型最优控制问题展开的数值算法研究尤多。

非线性最优控制最优问题间接求解法

在间接法中，我们依靠最小值原理和其它一些必要条件得到一个两点边值问题，然后通过数值求解该问题得到相应的最优轨迹。在几种基于打靶法求解两点边值问题的方法中，多重打靶法是最引人瞩目的。而其它的一些间接数值求解法，比如伴随方程的向前一向后积分法、函数空间梯度法等，在过去的几年中应用并不十分广泛。间接法的主要优点是解的精度高，同时方法保证了求解满足最优条件。然而间接法常常会遇到比较严重的解的收敛性问题。如果在求解中，没有关于系统初始值的一个好的选取，或是没有关于约束和非约束下系统运动轨迹的先验知识，收敛过程可能需要花费很长的计算时间，甚至可能根本无法找到最优解。

非线性最优控制最优问题直接求解法

在直接法中，连续性的最优控制问题通过参数化的过程被转化为了一个有限维的优化问题。转化后的问题可以通过一些已有的比较成熟的约束优化算法进行数值求解。相对于间接法而言，直接法无需考虑最优化条件，而是直接求解问题本身。直接法不易受到收敛问题的影响，但估计的精度不如间接法。最优的必要条件不是直接满足的，而且伴随量的估计精度有时也会很差。现在比较常用的几种直接求解方法包括最优参数控制法，有限差分方法，配点法，微分包含方法和伪谱方法。在最优参数控制法中，控制量被单独参数化，同时数值积分方法被用来求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和边界条件被近似为有限差分方程组:在配点法中，状态量和控制量同时被参数化，在各个节点处，局部分段多项式被用来近似微分方程;微分包含方法只是将状态量参数化，并使用由速端曲线定义的状态变化率;在伪谱方法中，通过全局多项式将状态量和控制量同时参数化，积分方程和微分方程通过求积法被近似。配点法和伪谱方法的一个重要的特点就是伴随量的相合估计。

最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。 实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用――运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。

最优化方法

1、微分学中求极值

2、无约束最优化问题

3、常用微分公式

4、凸集与凸函数

5、等式约束最优化问题

6、不等式约束最优化问题

7、变分学中求极值

最优化方法数学意义

为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优化方法发展简史

公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。第二次世界大战前后，由于军事上的需要和科学技术和生产的迅速发展，许多实际的最优化问题已经无法用古典方法来解决，这就促进了近代最优化方法的产生。

近代最优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有： 以苏联Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为代表的线性规划；以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以美国R.贝尔曼为代表的动态规划；以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系统工程等学科的发展起了重要作用。

最优化方法工作步骤

用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。上述 5个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。

最优化方法模型的基本要素

最优化模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素:①变量:指最优化问题中待确定的某些量。变量可用x=(x1，x2,…,xn)T表示。②约束条件:指在求最优解时对变量的某些限制,包括技术上的约束、资源上的约束和时间上的约束等。列出的约束条件越接近实际系统，则所求得的系统最优解也就越接近实际最优解。约束条件可用 gi(x)≤0表示i=1,2，…，m，m 表示约束条件数；或x∈R(R表示可行集合)。③目标函数：最优化有一定的评价标准。目标函数就是这种标准的数学描述，一般可用f(x)来表示，即f(x)=f(x1，x2,…,xn)。要求目标函数为最大时可写成；要求最小时则可写成。目标函数可以是系统功能的函数或费用的函数。它必须在满足规定的约束条件下达到最大或最小。 　问题的分类 　最优化问题根据其中的变量、约束、目标、问题性质、时间因素和函数关系等不同情况，可分成多种类型（见表）。最优化方法

最优化方法

不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。①解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。②直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。③数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法。④其他方法：如网络最优化方法等(见网络理论)。

解析性质

根据函数的解析性质，还可以对各种方法作进一步分类。例如，如果目标函数和约束条件都是线性的，就形成线性规划。线性规划有专门的解法，诸如单纯形法、解乘数法、椭球法和卡马卡法等。当目标或约束中有一非线性函数时,就形成非线性规划。当目标是二次的,而约束是线性时，则称为二次规划。二次规划的理论和方法都较成熟。如果目标函数具有一些函数的平方和的形式，则有专门求解平方和问题的优化方法。目标函数具有多项式形式时，可形成一类几何规划。

最优解的概念

最优化问题的解一般称为最优解。如果只考察约束集合中某一局部范围内的优劣情况，则解称为局部最优解。如果是考察整个约束集合中的情况，则解称为总体最优解。对于不同优化问题，最优解有不同的含意，因而还有专用的名称。例如，在对策论和数理经济模型中称为平衡解；在控制问题中称为最优控制或极值控制；在多目标决策问题中称为非劣解（又称帕雷托最优解或有效解）。在解决实际问题时情况错综复杂，有时这种理想的最优解不易求得，或者需要付出较大的代价，因而对解只要求能满足一定限度范围内的条件,不一定过分强调最优。50年代初,在运筹学发展的早期就有人提出次优化的概念及其相应的次优解。提出这些概念的背景是：最优化模型的建立本身就只是一种近似，因为实际问题中存在的某些因素，尤其是一些非定量因素很难在一个模型中全部加以考虑。另一方面，还缺乏一些求解较为复杂模型的有效方法。1961年H.A.西蒙进一步提出满意解的概念，即只要决策者对解满意即可。

最优化方法最优化方法的应用

最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等四个方面。①最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展(见优选法)。②最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。③最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。④最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制。

图书信息

书 名: 最优化方法

作　者：张立卫

出版社：科学出版社

出版时间： 2010年6月1日

ISBN: 9787030276490

开本： 16开

定价: 27.00元