暂态频域分析

满足狄里赫利条件的周期性时间信号可以用傅里叶级数展开为一系列频率为Kf0（K=整数）的简谐时间函数之和

(1)

式中将式(1)中频率相同的正弦项、余弦项合并，即有

(2)

其中　由(1)、(2)两式可知，周期性时间信号可表示为一系列谐波之和，这些谐波的频率为f0的整倍数,Ck是频率为Kf0的谐波的振幅，φk就是这一谐波的初相角。对一周期性信号可以作出它的各谐波振幅Cn、初相角φn与角频率ω的关系的图像，这种图像分别称为振幅谱和相位谱。图中的周期性矩形脉冲的傅里叶级数展开式是式中　非周期性时间信号的谐波分析 　非周期性信号g(t)满足某些条件时，也可以展开为正弦形式的谐波的和。这时，由傅里叶级数的式中令T0→∞,=Δω→dω,可以得到傅里叶积分变换式

(3)

(4)

G(jω)为g(t)的傅里叶变换,g(t)则为G(jω)的傅里叶逆变换，记作

G(jω)=【g(t)】　 (5)

g(t)=-1【G(jω)】　 (6)

对式(4)可以作这样的解释:g(t)中频率为ω的简谐分量的复振幅以密度G(jω)分布在ω轴上，将这些频率连续分布在(-∞,∞)上的所有谐波相加(积分)即得到g(t)。G(jω)是复数,它的模和幅角都是频率ω的函数。将G(jω)记作

(7)

式中|G(jω)|称作幅频函数，θ(ω)称为相频函数。对于实数值的信号有即幅频函数是ω的偶函数，相频函数是ω的奇函数。

应用 　集总的线性系统的输入激励与输出响应的关系可以用一常系数线性微分方程表示

(8)

式中，u0、ui分别表示线性集总系统的输出量和输入量。带上标(K) 的量表示该量的K阶导数，例如等。对于形如ejwt的激励，式(8)所表示的系统的传递函数为

对于任一形式的激励ui(t)作用于此系统所产生的响应u0(t)，便可通过将ui作傅里叶变换，得其频谱密度再应用叠加定理分别计算各频率为ω的指数形激励产生的响应，最后将这些不同频率的响应相加使得到u0(t)。它便是系统在ui(t)的作用下产生的零状态响应。这一结果可表示为下面的积分上式就是U0(jω)的傅里叶反变换。在可以用解析的方法得到这一积分的通式的情况下,便可以得到u0(t)的表达式。在许多情况下，是采用数值方法去求上式的数值解。这时要将积分限限制在一有限的范围，并作离散化的处理。由此发展起来的快速傅里叶变换技术，为解决这类问题提供了快速而有效的算法。

集总的线性时不变电路和系统的激励与响应的关系都由常系数线性微分方程来描述。如果施加以正弦形激励，如Asin(ωt 嫓)，或指数形激励，如，则其稳态响应一般亦呈同频率的正弦或指数形式。采用复数相量法，只需求解由电路方程所得复数方程组，就可以求得所需的响应。

暂态分析的目的是要研究在电路中施加激励后所出现的响应。对于线性时不变电路和系统,暂态的频域分析的基本思想是将激励展开为许多存在于 －∞tK倍(K是整数)的谐波之和，即为激励的傅里叶级数展开式,所得的响应亦表示为类似的级数形式。在激励是非周期时间函数的情况下,激励的展开式是频率连续分布在-∞ωg(t)=g(t T0)　T0≠0性质的信号。满足上式的最小的T0值称为此信号的周期，其频率为f0。

法国数学家傅立叶在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。

1822年，傅立叶出版了专著《热的解析理论》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅立叶的名字命名。傅立叶应用三角级数求解热传导方程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅立叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅立叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。傅立叶1822年成为科学院终身秘书。

根据傅立叶级数的原理，周期函数都可以展开为常数与一组具有共同周期的正弦函数和余弦函数之和。

满足Dirichlet条件的、以T为周期的时间的周期函数f(t)，在连续点处，可用下述的三角函数的线性组合（傅里叶级数）来表示：

上式称为f(t)的傅里叶级数，其中，ω=2π/T。

n为整数，n>=0。

n为整数，n>=1。

在间断点处，下式成立：

a0/2为信号f(t)的直流分量。

令

c1为基波幅值，cn为n次谐波的幅值。c1有时也称一次谐波的幅值。a0/2有时也称0次谐波的幅值。

整数n称为谐波次数，也称谐波阶数。

谐波的频率必然也等于基波的频率的整数倍，基波频率3倍的波称之为三次谐波，基波频率5倍的波称之为五次谐波，以此类推。不管几次谐波，他们都是正弦波。

《电路理论:时域与频域分析》立论严谨、概念清晰、要点突出、叙述流畅、例题丰富、便于自学。可作为高等院校电类有关专业的教材或教学参考书，也可供有关技术人员参考。

电磁暂态威胁电力系统、电子系统及建筑物等的可靠运行和安全。科学、合理地预测电磁暂态特性是电气、电子设备及系统设计与选型的关键基础。本书既涵盖了传统的波过程理论及电磁暂态基本计算方法，同时根据作者及国内外其他学者多年来的相关研究成果，力图全面梳理电磁暂态分析的理论和计算方法的最新研究成果，系统介绍具有时域特性和频域特性的电磁暂态分析的基础理论和数值计算方法，包括具有复杂电磁耦合的半空间全波电磁暂态的数值计算方法，以及电磁暂态分析的智能拟合算法；另外重点介绍了不同电力系统设备、电力电子器件及控制系统、新能源装置等的电磁暂态分析模型；最后介绍了电磁暂态特征提取的小波变换理论及计算方法。本书可供高校和科研院所电气、电子等专业的师生阅读，也可供电力行业和其他相关行业的工程技术人员参考