总体刚度矩阵坐标系与编码

选用局部坐标系，都是以杆件的轴线作为x轴。但从整体分析时，在一个结构中，各个杆件的杆轴方向不尽相同，各个局部坐标系也不尽相同，很不统一。为了便于整体分析，必须选用统一的公共坐标系，称为整体坐标系。从局部坐标系的单元刚度矩阵到整体坐标系下的单元刚度矩阵是很关键的一步。

节点编码:在整体分析中，节点位移在结构中要进行统一编码，称为总码。在单元分析中，每个单元的两个节点位移各自的编码，称为局部码。

当得到了整体坐标系下各单元的单元刚度矩阵时，就需要按照两种编码对各个单元刚度矩阵进行整合，以形成整体坐标系下的整体刚度矩阵。

详细内容见结构力学书。

矩阵位移法是有限元法的雏形，包含两个基本环节:(1)单元分析;(2)整体分析。

有限元法的要点:先把结构整体拆开，分解成若干个单元，即离散化。然后，在将这些单元按照一定的条件集合成整体。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。

单元刚度矩阵奇异

如a=[

1 0 0 2/3 -1 -2/3

0 1/3 2/3 0 -2/3 -1/3

0 2/3 4/3 0 -4/3 -2/3

2/3 0 0 4 -2/3 -4

-1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3

-2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3

];

inv(a)

Warning: Matrix is singular to working precision.

ans =

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

>> det(a)

ans =

0

单元刚度矩阵一定是奇异的，这一点一般的有限元书上都有证明，给定某个位移为1，其它位移为0，代入F=KΔ，再由力的平衡关系，可推出矩阵(方阵)的该列元素的和为0，依次定义不同的非0位移，可得知其它列有同样性质，因此方阵的行列式为0，由此可知该方阵是奇异的。一般k为稀疏带状矩阵。

应该说结构刚度矩阵在没有引入边界条件之前是奇异的，因为如果没有引入边界条件的话，对整个结构来说存在着刚体位移，也就是说ku=f这个方程存在着非零解，引入边界条件的话就是约束结构的整体刚体位移，使得刚度矩阵从奇异转化为非奇异。

由对称性和奇异性的单元刚度矩阵组装成的结构刚度矩阵也具有对称性和奇异性。然而引入约束条件后，整体刚度矩阵则满秩。如未引入约束条件的整体矩阵

>> b=[

7/3 4/3 -4/3 -2/3 -1 -2/3 0 0

4/3 13/3 -2/3 -4 -2/3 -1/3 0 0

-4/3 -2/3 7/3 0 0 4/3 -1 -2/3

-2/3 -4 0 13/3 4/3 0 -2/3 -1/3

-1 -2/3 0 4/3 7/3 0 -4/3 -2/3

-2/3 -1/3 4/3 0 0 13/3 -2/3 -4

0 0 -1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3

0 0 -2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3

];

>> det(b)

ans =

2.4580e-044

>> inv(b)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 9.759739e-018.

ans =

1.0e+015 *

0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391

0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659

1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325

0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659

0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391

-1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773

1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325

-1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773

对于有限元软件的应用，大家经常会碰到一个十分头痛的问题，软件提示总体刚度矩阵出现小的主元和负元，也即总体刚度矩的出现奇异，出现奇异的原因多种多样，可能的原因有:

在共享一个节点的所有单元中材料属性如弹性模量为零;

一个或多个结构节点没有连接到任何单元上;

结构式的一个或多个部分没有与其它部分相接;

边界条件没有设定或不够充分;

不适当的连接可能产生寄生模式;

在一个连接点设置了太多的分离;

有很大的刚度奇异;

部分结构发生屈服;

在非线性分析中，支撑或者连接已达到零刚度，以至于部分或所有结构不能被充分支撑。

第一节　有限元的基本概念

第二节　弹性力学有限元法

一、弹性力学基本方程

二、单元列式

三、总体刚度矩阵与求解

第三节　ANSYS有限元分析软件简介

一、ANSYS的组成

二、ANSYS的技术特点

三、ANSYS的基本功能

四、ANSYS的高级功能

五、ANSYS的操作界面

第四节　ALGOR有限元分析软件简介

一、ALGOR软件的发展历史

二、ALGOR软件的分析功能

三、ALGOR软件的结构

第五节　其他有限元分析软件

参考文献

第二章　分析模型与求解

第一节　概述

第二节　模型策划

一、环境分离

二、对称性研究

三、重点考察部位的选取

四、细节　结构的考虑与舍弃

五、工况分析

六、材料数据与材料分组

七、单元选择

八、解题规模预测

九、文献资料检索

十、不连续结构的处理方法

第三节　分析模型的建立和改进

一、单位制

二、建模方法

三、网格划分

四、载荷考虑与施加

五、约束条件

六、模型检查

七、模型求解

八、试算结果考察

第四节　网格划分与结果的收敛性

第五节　尖角问题的处理

一、圆筒平盖问题

二、错边问题

三、开孔接管问题

四、热点应力

五、大型模型中尖角位置的应力求取方法

第六节　结果分析

一、变形观察

二、应力等值显示

三、应变观察

四、支承反力（约束反力）

五、路径操作

六、彩****像输出

七、黑白图像输出

八、结果文本列表

第七节　ANSYS求解线弹性问题示例

一、问题描述

二、定义工作文件名和工作标题

三、定义单元类型和材料属性

四、创建几何模型

五、生成有限元网格

六、施加载荷并求解

七、浏览计算结果

八、以扩展方式显示计算结果

九、以曲线形式显示孔边应力强度分布

十、网格局部细化并重新计算

第八节　ALGOR求解线弹性问题示例

一、问题描述

二、建立模型的几何文件

三、将Superdraw Ⅲ文件转化为有限元模型

四、用Superview检查模型

五、计算并观察结果

六、网格细化并重新计算

参考文献

第三章　强度评定与分析报告

第一节　强度与强度条件

第二节　强度理论

一、强度理论的概念

二、材料的两种破坏形式

三、四个基本的强度理论

第三节　应力分类与强度评定

一、一次应力（primary stress）

二、二次应力（secondary stress）

三、峰值应力（peak stress）

四、分类应力的强度评定

第四节　应力沿路径的线性化

一、应力线性化的一般公式

二、线性化显式表达式

三、商用软件中的线性化原理

四、路径上分段点应力计算方法

第五节　分析报告

一、分析报告封面

二、报告正文

三、报告附件、附录

参考文献

第四章　开孔接管分析

第一节　概述

第二节　建立分析模型的一般考虑

第三节　模型收敛性分析

第四节　法兰的影响

第五节　接管外伸长度影响

第六节　贴板补强处理方法

第七节　密封垫片处理

第八节　算例（一）——汽包翻边下降管结构分析

一、分析模型

二、分析结果与评定

第九节　算例（二）——集汽集箱蒸汽出口应力分析

一、分析模型

二、分析结果与评定

第十节　算例（三）——椭圆人孔应力分析

一、分析模型

二、分析结果与评定

三、讨论

参考文献

第五章　管板应力分析

第一节　管板的结构和承载特点

第二节　管板理论与研究概况

一、当量实心板理论

二、光板弯曲理论

第三节　管子对管板的作用

一、管子的弹性支撑作用

二、管子的开孔补强作用

三、管壳热膨胀差的考虑方法

第四节　管板有限元分析模型与对比

一、分析模型

二、分析模型

三、分析模型

四、分析模型

五、模型对比与分析

六、温差载荷作用下的分析与对比

七、工程应用中的其他问题

参考文献

第六章　结构的屈曲分析

第一节　屈曲的基本概念

一、失稳形式

二、临界压力计算

第二节　屈曲分析的有限元法

一、线性屈曲分析简例

二、屈曲有限元分析的类型

三、屈曲问题有限元分析的一般步骤

第三节　炉胆屈曲的有限元分析

一、特征值计算结果及对比分析

二、几何非线性计算结果

三、几何/材料非线性计算结果

四、结果讨论与对比

附：炉胆屈曲分析命令流文件清单

第四节　椭圆度对炉胆屈曲临界载荷的影响初步分析

第五节　工程应用中应注意的问题

参考文献

第七章　热传导与热应力分析

第一节　引言

第二节　热量传递的三种方式

一、热传导

二、对流

三、热辐射

第三节　热传导问题的基本方程

第四节　热传导问题有限元法

一、稳态热传导有限元的一般格式

二、瞬态热传导有限元的一般格式

第五节　热应力分析的有限元方法

第六节　热传导/热应力有限元分析中的若干问题

一、热分析中的其他材料性质

二、热载荷的种类

三、热分析的种类及一般步骤

四、热应力分析的几种方法

五、ANSYS软件中的热分析及热分析/热应力耦合单元

第七节　锅炉给水管的温度场与热应力分析

一、数据准备

二、连续给水时的温度场和热应力场

三、min间断给水时的温度场和热应力场

附：瞬态分析命令流文件

参考文献

第八章　综合应用案例

第一节　一台进口异型锅炉的强度分析

一、锅炉结构和参数

二、有限元分析模型

三、计算结果与分析

四、结论

第二节　T形接头的强度分析与疲劳寿命预测

一、分析模型

二、分析结果及准确性考察

三、静强度校核

四、疲劳寿命预测

参考文献