正螺面性质

正螺面是经典微分几何曲面论中的重要研究对象，本身具有很多重要的几何性质，例如正螺面是一种特殊的直纹面，可看作圆柱螺线的主法线面；正螺面的平均曲率恒为零，因此是极小曲面；此外通过计算正螺面的Gauss曲率，可以发现其Gauss曲率沿着直母线的正交轨线保持不变。

定理1：设α是一条曲率和挠率均恒不为零的曲线，S为α的主法线面。如果S沿着每条直母线平均曲率保持不变，则S必为正螺面。

定理2：设α是一条曲率和挠率均恒不为零的曲线，S为α的主法线面。如果S沿着每条直母线的正交轨线Gauss曲率保持不变，则S必为正螺面。

由定理1可直接得到如下推论：

推论：设S为某条曲率和挠率均恒不为零的曲线的主法线面。如果S的平均曲率为常数，则S必为正螺面 。

如《正螺面的图形》所示。

定义1：由一条垂直于螺旋轴的直线作螺旋运动时所画出的曲面叫正螺面。

旋转是以定角速度 w顺着 z轴方向，且移动的距离与转角 v 与( x 轴交角 ) 成正比，即正螺面的母线与螺线的“轴”垂直相交，当交点N沿轴移动时，母线绕轴旋转，且N点转动的距离与母线转动的角度成正比。把 z 轴取作旋转轴，M点为正螺面上任意一点，MN垂直于z轴，设MN=u，OP为MN在xy平面上的投影，OP与 x 轴的交角为 v 。 a 表示螺距 ( 比例系数 ) ，则正螺面的方程可写成：

即：

定义2：圆柱螺线

螺旋面是一类常见的曲面。以螺旋线和它的轴线为导线，直母线(也可以是曲母线)沿两条导线滑动，并始终与轴线交成定角所形成的曲面称为螺旋面。同螺旋线一样，螺旋面也分成左旋和右旋两种。在形成螺旋面的过程中，母线上各点轨迹都是螺旋线。这些螺旋线导程相等。画出螺旋线和轴线的投影，再画出若干直素线的投影以及包络线，就得到螺旋面的投影 。常见的螺旋面有正螺旋面、斜螺旋面（阿基米德螺旋面）、sincos螺旋面、渐开螺旋面等。

（1）正螺面的坐标曲线网是正交曲线网、渐近曲线网和等温网；

（2）正螺面的直纹性：正螺面是直纹曲面，但不可展；

（3）正螺面是极小曲面：正螺面上的任意光滑曲线C围成的曲面区域最小，换句话说，正螺面是极小曲面。

直母线沿一条圆柱螺旋线运动，并始终与其轴线垂直相交所形成的曲面称为正螺旋面。从正螺旋面的形成看，正螺旋面也可以说是一种锥状面，如图1所示，它是由直线段沿圆柱螺旋线作螺旋运动而形成的，螺旋线的导程为

投影图中一般需画出直导线

如图2(b)所示，在水平投影中，点

正螺旋面用平行于

一直母线沿着圆柱螺旋线（曲导线）及圆柱轴线（直导线）运动，且始终正交于轴线而形成的曲面称为正螺旋面，如图2(a)所示。正螺旋面相邻两素线彼此交叉，所以是一种不可展的直纹曲面。

在图2(a)中，当点