准等距点定义

四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点 .

①当四边形的对角线互相垂直，且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个;

②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个;

③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个;

④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个 .

到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图l.

(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点.

(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法).

(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF.求证:点P是四边形AB CD的准等距点.

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明).

解:(1)如图2'中，点P即为所画点.(因为菱形的对角线互相垂直平分，所以在直线AC上除线段AC中点外的任意一点都符合条件)

(2)如图3'中，点P即为所作点.(线段BD的垂直平分线与直线AC的交点)

(3) 如图4'中，连结DB，

在△DCF与△BCE中，

∠DCF=∠BCE，

∠CDF=∠CBE，

∠ CF=CE.

∴△DCF≌△BCE(AAS)，

∴CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD.

∴∠PDB=∠PBD，

∴PD=PB，

∵PA≠PC

∴点P是四边形ABCD的准等距点.

(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个;

由于国家水准原点实际高程并非为海拔0米，经国家测绘局批准，由专家精确移植水准原点信息数据，在青岛银海大世界内建起了“中华人民共和国水准零点”。水准零点标志雕塑，高6米，重10余吨，底座像一个铅锤，寓意老一辈测量人工作的辛苦，顶部地球仪上有6个小圆球，寓意世界上6个著名的海拔原点。在零点雕塑的下面是一个观测井，观测井的底部设有一个价值不菲的巨大的红色玛瑙球，这个球体的顶平面就是我们国家海拔0米的地方。