转动惯量垂直轴定理

还有垂直轴定理：垂直轴定理

一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转 动惯量之和。

表达式：Iz=Ix+Iy

刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为 I=MK^2，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：

先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=（1/2）mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=（1/2）mv^2 （v^2为v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r，而再把不同质点积分化得到实际等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替，

K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

变换一下公式角度分析转动

1.E=（1/2）Kw^2本身代表研究对象的运动能量

2.之所以用E=（1/2）mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。

3.E=（1/2）mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。

4.E=（1/2）Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 （这里的K和上面的J一样）

所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。

若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV

其中dV表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。

若有任一轴与过质心的轴平行，且该轴与过质心的轴相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：

J=Jc+md^2

其中Jc表示相对通过质心的轴的转动惯量

这个定理称为平行轴定理

一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加

​转动惯量(Moment of Inertia)是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。 电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从它的外形尺寸的质量分布用公式计算出相对于某一确定转轴的转动惯量。对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。而对于外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的方法来精确地测定物体的转动惯量，因而实验方法就显得更为重要。

Moment of Inertia刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

转动惯量严格来说是一个张量，必须从张量的角度对其进行定义。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.

设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为Jc，则Jc=∫ρ(r●rδ-rr)dV。该积分遍及整个刚体A，且，

其中，r=r1 e_1 + r2 e_2 + r3 e_3 ，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式rr是两个矢量的并乘；而单位张量δ是度量张量，δ=δ_ij e_i e_j ，这里i和j是哑指标，标架(C;e_1，e_2，e_3)是一个典型的单位正交曲线标架；ρ是刚体的密度。

设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为ΣMc，刚体A在惯性系下的角速度矢量为ω，角加速度矢量为α，A绕其质心的转动惯量张量为Jc，则有如下的力矩方程：

ΣMc=Jc●α+ω×Jc●ω

将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。

转动惯量张量Jc是一个二阶张量，虽然在标架(C;e_1，e_2，e_3)下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。

测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。三线摆是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义。

三线摆是在上圆盘的圆周上，沿等边三角形的顶点对称地连接在下面的一个较大的均匀圆盘边缘的正三角形顶点上。

当上、下圆盘水平三线等长时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O1O转动一个小角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴O1O作扭转摆动。同时，下圆盘的质心O将沿着转动轴升降，=H是上、下圆盘中心的垂直距离；=h是下圆盘在振动时上升的高度；是上圆盘的半径；是下圆盘的半径；α是扭转角。

由于三悬线能力相等，下圆盘运动对于中心轴线是对称的，仅分析一边悬线的运动。用L表示悬线的长度，当下圆盘扭转一个角度α时，下圆盘的悬线点移动到，下圆盘上升的高度为，与其他几何参量的关系可作如下考虑。

1.测定仪器常数。

恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。自拟实验步骤，确保三线摆的上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。

2.测量下圆盘的转动惯量 ，并计算其不确定度。

转动三线摆上方的小圆盘，使其绕自身轴转一角度α，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，而避免产生左右晃动。自己拟定测 的方法，使周期的测量不确定度小于其它测量量的不确定度。利用式，求出 ，并推导出不确定度传递公式，计算的不确定度。

3.测量圆环的转动惯量 　　

在下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量。测量圆环的质量和内、外直径 。利用式求出圆环的转动惯量 。并与理论值进行比较，求出相对误差。

4.验证平行轴定理　　

将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱重叠起来放在下圆盘上，注意使质心与下圆盘的质心重合。测量转动轴通过圆柱质心时，系统的转动惯量 。然后将两圆柱对称地置于下圆盘中心的两侧。测量此时系统的转动惯量 。 测量圆柱质心到中心转轴的距离计算，并与测量值比较。

转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。

当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=mL^2/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=mL^2/3

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2

其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

转动惯量定理： M=Jβ

其中M是扭转力矩

J是转动惯量

β是角加速度

当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；

当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；

R为其半径。

当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚×mR^2；

当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚×mR^2；

R为其半径。

当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2；]

R1和R2分别为其内外半径。

当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；

当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；

R为球壳半径。

当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；

当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；

R为球体半径。

当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；

当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；

当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；

L为立方体边长。

现在已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？

分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.

根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=500转/分/0.1s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr^2/2。

所以M=Jβ

=mr^2/2△ω/△t

=ρπr^2hr^2/2△ω/△t

=7.8×10^3 ×3.14× 0.04^2×0.5×0.04^2÷2 ×500×2π÷60÷0.1

=8.203145

单位M=kgm^2/s^2=N*m