最大独立集算法思想

定义一个图，图中每个顶点表示一个网组。当且仅当两个顶点对应的网组交叉时，它们之间有一条边。所以该图的一个最大独立集对应于非交叉网组的一个最大尺寸的子集。当网组有一个端点在路径顶端，而另一个在底端时，非交叉网组的最大尺寸的子集能在多项式时间（实际上是O(n²)）内用动态规划算法得到。当一个网组的端点可能在平面中的任意地方时，不可能有在多项式时间内找到非交叉网组的最大尺寸子集的算法。

首先选择一点为树根，再按照深度优先遍历得到遍历序列，按照所得序列的反向序列的顺序进行贪心，对于一个即不属于支配集也不与支配集中的点相连的点来说，如果他的父节点不属于最大独立集，将其父节点加入到独立集。

如果U定义了G的一个完全子图，则它也定义了的一个空子图，反之亦然。所以在G的完备子图与的独立集之间有对应关系。特别的，G的一个最大完备子图定义了的一个最大独立集。

最大完备子图问题是指寻找图G的一个最大完备子图。类似地，最大独立集问题是指寻找图G的一个最大独立集。这两个问题都是NP-复杂问题。当用算法解决其中一个问题时，也就解决了另一个问题。例如，如果有一个求解最大完备子图问题的算法，则也能解决最大独立集问题，方法是首先计算所给图的补图，然后寻找补图的最大完备子图。

独立集是指图 G 中两两互不相邻的顶点构成的集合。任意有关图中团的性质都能很自然的转述成独立集的性质。一般而言，寻找图的最大团是 NP 困难的，从而寻找图的最大独立集也是 N-P 困难的。但是，对于二部图的情形，有多项式时间算法找出图的最大独立集。

采用链式前向星存储整棵树。整形数组newpos[i]表示深度优先遍历序列的第i个点是哪个点，now表示当前深度优先遍历序列已经有多少个点了。bool形数组visit[ ]用于深度优先遍历的判重，整形pre[i]表示点i的父节点编号, bool型数组s[i]如果为true,表示第i个点被覆盖， bool型数组set[i]如果为true,表示点i属于要求的点的集合。

#include
 
  
usingnamespacestd;
constintmaxn=1000;
intpre[maxn];//存储父节点
boolvisit[maxn];//DFS标记数组
intnewpos[maxn];//遍历序列
intnow;
intn,m;
inthead[maxn];//链式前向星
structNode{intto;intnext;};
Nodeedge[maxn];

voidDFS(intx){
newpos[now  ]=x;//记录遍历序列
for(intk=head[x];k!=-1;k=edge[k].next){
if(!visit[edge[k].to]){
visit[edge[k].to]=true;
pre[edge[k].to]=x;//记录父节点
DFS(edge[k].to);
}
}
}

intMVC(){
bools[maxn]={0};
boolset[maxn]={0};
intans=0;
for(inti=n-1;i>=1;i--){//逆序进行贪心,排除掉其根节点
intt=newpos[i];
if(!s[t]&&!s[pre[t]]){//如果当前节点和其父节点都不属于顶点覆盖集合
set[pre[t]]=true;//把其父节点加入到顶点覆盖集合
ans  ;//集合内顶点个数加1
s[t]=true;//标记当前节点被覆盖
s[pre[t]]=true;//标记其父节点被覆盖
}
}
returnans;
}

intmain(){
/*readGraphmessage*///建图
memset(visit,false,sizeof(visit));//初始化
now=0;
visit[1]=true;
pre[1]=1;
DFS(1);//从第一个根节点开始寻找遍历序列
MDS();
return0;
}
 

如果U定义了G的一个完全子图，则它也定义了的一个空子图，反之亦然。所以在G的完备子图与的独立集之间有对应关系。特别的，G的一个最大完备子图定义了的一个最大独立集。

最大完备子图问题是指寻找图G的一个最大完备子图。类似地，最大独立集问题是指寻找图G的一个最大独立集。这两个问题都是N P-复杂问题。当用算法解决其中一个问题时，也就解决了另一个问题。例如，如果有一个求解最大完备子图问题的算法，则也能解决最大独立集问题，方法是首先计算所给图的补图，然后寻找补图的最大完备子图。

独立控制概述

随着电力电子等非线性负荷在工业和民用场合应用越来越广泛，电网中电流波形畸变更加严重，电能质量问题越来越显著。应用有源电力滤波器(active power filter，APF)被公认为治理电网谐波、改善电能质量的最有效手段。现阶段APF 有两个最重要的性能要求：

1）高补偿精度，即要求补偿后的网侧电流总谐波畸变率和各次谐波含有率均达到GB/T 14549-93 规定的指标(或者企标的补偿后的网侧电流总谐波畸变率小于5%，进一步各次谐波畸变率均小于1%)；

2）装置容量的灵活充分利用，如当补偿容量超过装置最大容量时进行分次输出限幅或者只对指定次谐波进行补偿。满足上述性能要求的最有效方法是实现APF 谐波独立控制，其本质是实现APF 功能：1）谐波补偿频次可选；2）各选择次谐波补偿程度可独立设定(通常为0%~100%)；

3）各选择次谐波无静差补偿。这3 方面功能不仅可使APF 对各次谐波的补偿精度大大提高，同时可实现其对输出容量最灵活和最充分地利用。提出一种基于多同步旋转坐标系的指定次谐波电流控制方法，各指定次谐波控制对应各同步旋转坐标系下PI 控制器，而且随着指定频次的增多，多控制器间容易产生耦合，参数难整定，计算量大。采用谐波集中检测结合多比例谐振器(multi-proportional resonant，MPR)的分次电流环，虽然较计算量减少，但控制系统模型一致，本质仍一样。提出采用谐波分次检测结合采用单PI 控制器集中电流环，并在检测环节中加入相位补偿以抑制检测环节和电流环固有时延对控制系统稳定性的影响，但其未解决采用单PI 控制器集中电流环跟踪各选择频次谐波分量时存在的静差问题。综上，当前APF 谐波独立控制实现的研究存在以下问题：谐波集中检测和谐波分次检测，仅后者能实现谐波独立控制的功能1 和2；集中电流环和分次电流环，前者结构简单实现容易，但仅后者可以实现谐波独立控制的功能3，可是当电流环采用多个控制器时，控制系统复杂，随着控制器数目增多，参数难以整定，容易出现控制系统稳定性问题，计算量大。因此同时实现谐波独立控制的3 方面功能成为当前难点。

针对以上问题，从APF 谐波独立控制实现的核心即谐波控制系统结构角度展开研究，将现有 APF 谐波控制策略分为4 类：1）谐波集中检测结合集中电流环；2）谐波集中检测结合分次电流环；3）谐波分次检测结合集中电流环；4）谐波分次检测结合分次电流环。多方面对比后，提出改进谐波分次检测结合集中电流环的谐波控制系统结构，具体包含选择次补偿和全补偿模式两种运行模式下结构。该方法充分利用两方面特性：1）集中电流环对输入的各频次分量增益固定且可得；2）谐波分次检测得到的各频次分量通过乘以校准增益后，其幅值和相位均可调节，从而通过谐波分次检测后再分次校准集中电流环静差，很好地实现了APF 谐波独立控制的3 方面功能，同时由于采用集中电流环，控制系统简单，参数易整定、不易出现稳定性问题。以多同步坐标系结合采用单PI 控制器集中电流环为例，利用集中电流环频域特性，定性和定量地分析集中电流环静差，给出校准的具体方法。最后通过仿真和实验，验证本文所提出方法的可行性和优越性。

独立控制1 APF 谐波控制系统结构

1.1 简介

APF 整机系统，由控制系统和功率系统两部分组成，其中控制系统包括 3 部分：谐波控制系统、直流电压外环和电网电压锁相环。谐波控制系统是 APF 控制系统核心，包括谐波检测和电流环两部分。从谐波控制系统结构角度进行对比分析，进一步提出了 APF 两种运行模式下的改进谐波独立控制系统结构。

1.2 传统谐波控制系统结构

1.2.1 谐波集中检测

结合集中电流环谐波集中检测结合集中电流环的传统谐波控制系统结构。其中谐波集中检测是指利用负载电流直接减去检测出的单频次分量(通常为基波正序分量等不需要 APF 补偿分量)得到总的全频段谐波指令电流，单频次分量检测常用的方法 有 离 散 傅 里 叶 变 换 (discrete Fouriertransformation，DFT)、瞬时无功等；集中电流环是指电流环开环部分采用单控制器，如比例积分(Proportional Integral，PI)(静止或者单同步坐标系下)或等效的单频次比例谐振器等。该结构简单易实现，但无法实现谐波独立控制，即谐波补偿频次的可选和程度的可设定，对谐波电流各频次分量的无静差跟踪。

1.2.2 谐波集中检测结合分次电流环

谐波集中检测结合分次电流环结构的电流环采用多个控制器即各频次电流控制器，构成分次电流环。分次电流环控制器常为多比例谐振器或者多同步坐标系 PI，证明两者具有等效性，均可实现电流环对指定次谐波分量的无静差跟踪，通过投入或者切出不同频次电流控制器以实现谐波补偿频次的选择。但是由于该结构采用谐波集中检测，无法实现对指定次谐波补偿的程度设定，也就不能完全实现谐波独立控制功能，而且分次电流环控制器随着选择频次的增多容易存在耦合，参数难整定，易出现稳定性问题。

1.2.3 谐波分次检测结合集中电流环

这种谐波分次检测结合集中电流环结构，采用谐波分次检测得到各需要补偿频次分量，再经过程度系数和频次选择，实APF 谐波独立控制功能 1 和 2；采用集中电流环，虽然避免了结构 2 中分次电流环的问题，但是存在对各指定频次谐波分量的跟踪静差问题，即不能实现谐波独立控制功能 3，而且随着指定谐波频次的增高，静差会逐渐增大，大大降低 APF 的补偿精度。

1.2.4 谐波分次检测结合分次电流环

通过上面 3 种谐波控制系统结构，可很直接得到谐波分次检测结合分次电流环结构，但是实际应用中很少采用该结构，因为其运算量过大且占用大量的 DSP 资源，影响系统的实时性，且存在结构2 中分次电流环的问题，本文不再赘述。对比分析以上几种谐波控制系统结构，结构 1 虽然控制系统简单，但谐波独立控制3 方面功能均不能实现；结构 2 采用分次电流环实现了谐波独立控制功能 1 和 3，但由于采用谐波电流集中检测，不能实现谐波独立控制功能 2，且存在采用分次电流环的问题，即电流环控制器复杂、参数难调、易出现稳定性问题，占用资源过大；结构 3 与 2 相反，采用谐波分次检测实现谐波独立控制功能 1 和 2，但采用集中电流环虽然结构简单没有分次电流环的问题，可是不能实现谐波独立控制功能 3；结构 4 虽然可实现谐波独立控制 3 方面功能，但这是以控制系统过复杂、运算量和占用资源过大为代价，不适于实际应用。

1.3 改进谐波分次检测结合集中电流环

针对上述问题，在结构 3 基础上，根据以下两方面特性：1）集中电流环对输入的各频次分量增益固定，且可得；2）谐波分次检测得到的各频次分量通过乘以校准增益后，其幅值和相位均可调节，从而得到利用谐波分次检测后再分次校准集中电流环静差的改进谐波分次检测结合集中电流环的 APF 谐波控制系统结构，实现了谐波补偿频次可选、程度可设定的同时，实现了选择频次谐波无静差跟踪补偿，即本文提出的 APF 谐波独立控制 3方面功能。改进结构包含两种运行模式，即指定次谐波补偿模式和全补偿模式。指定次谐波补偿模式，该模式下 APF 的谐波补偿频次可选，各选择频次谐波的补偿程度可独立设定，同时对各指定频次谐波分量可无静差跟踪补偿，这种模式适用于需要补偿谐波频次数量不多的情况。全补偿模式，采用的方法是从负载电流中直接减去谐波分次检测的指定频次谐波分量，再加上校准集中电流环静差后的各频次谐波分量，即实现了谐波独立控制 3 方面功能，又实现了谐波全频段补偿，这种模式适用于需要大范围谐波频次补偿的情况。

独立控制2集中电流环静差分析和校准

2.1 简介

建立采用静止坐标系PI 控制器的集中电流环模型，通过该模型频域特性，定性和定量分析集中电流环静差，并给出谐波分次检测校准集中电流环静差的方法。

2.2 集中电流环静差分析

APF 通常采用数字控制器，为便于分析，本文在连续域下对数字控制系统进行建模和分析。采用静止坐标系PI 控制器的集中电流环的连续域近似模型采用ab坐标系下建模、复数形式表示。由于采用了电网电压前馈技术，同时电网电压一般情况谐波含量很低，所以频域分析在谐波频次时无需考虑电网电压E 的扰动。另外，PWM 部分的计算延时和零阶保持器(zero orderhold，ZOH)两个模块，连续域下分别用两个一阶惯性环节近似表示。

分析集中电流环稳定性、动态性能和闭环频域特性。关于集中电流环稳定性和动态性能方面，指出通过合理的调节PI 控制器参数可使集中电流环具有良好的稳定程度和动态性能，但从闭环频域特性方面看，这种情况时集中电流环的带宽不会很宽，一般不会超过其输入指令电流频段即APF 所需补偿电流的频段(通常为2~50 次)，则集中电流环对很多频次谐波分量的增益(本质为复数，包括增益幅值和增益相角)偏离增益1，使得集中电流环输出的指定频次分量的幅值和相位较指令量出现较大偏差，即产生所谓的集中电流环静差。

根据线性控制系统频域特性可知，集中电流环对各频次分量增益为系统固有参数，与输入信号无关，因此集中电流环闭环传递函数对其闭环频域特性作定性和定量分析。以保证集中电流环控制系统具有合适的稳定裕度和良好的动态性能为目标，对PI 控制器参数进行整定，取K_p=3.2，K_i=8，利用Matlab 作出集中电流环闭环波德图。在0 Hz 处，系统的闭环幅频响应为1(0dB)，相频响应为0°，说明PI 控制器可对直流量无静差跟踪，但随着频率的增加，会出现幅值衰减，相角滞后，集中电流环静

独立控制3 仿真分析

为分析所提方法，搭建 Matlab-Simulink仿真模型。系统阻抗忽略不计。非线性负载为三相不控整流桥，集中电流环对各频次谐波电流分量增益。首先分析单指定次谐波电流输入集中电流环情况，集中电流环输入单 7 次谐波指令电流时的 A 相指令电流、静差校准前和校准后的输出电流波形，可以看出，静差校准前的输出电流幅值略高于指令电流，相位滞后于指令电流，直接通过波形数据分析得到该输出电流较指定电流相位滞后16.3º，幅值放大比例为 1.03，此结果和表 2 数据基本一致。按此数据进行集中电流环静差校准后，可看出输出电流几乎和指定电流重合。再分析多指定次谐波电流输入集中电流环情况，表 4 列出了 APF 补偿 37 次以内谐波时，集中电流环静差校准前后网侧电流的各次谐波含有率，同时给出了负载侧各次谐波含有率。通过网侧电流各次谐波含有率对比可看出，采用本文所提集中电流环静差校准方法，APF 对各频次的谐波补偿均达到了更好的效果。

独立控制4结论

本文提出的改进谐波分次检测结合集中电流环的谐波控制系统结构，完全实现了 APF 谐波独立控制的 3 个功能，控制系统结构简单，参数易整定、不存在稳定性问题。仿真结果证明了原理的正确性，实验结果验证了指定次谐波补偿和全补偿两种运行模式，装置容量得到灵活运用，补偿后的网侧电流总谐波畸变率小于 5%，各次谐波含有率基本均小于 1%，完全达到 GB/T 14549-93 规定的谐波要求，具有很好的工业应用价值。

独立基脚通常使用方形或矩形，常观柱之形状而定。此种基脚最简单的型式，是由一单板组成，如图3中（a），若板厚在80公分以下时，最为经济。图3中（b）为阶式基脚，易于传递载重并能加强其隙缝强度，多使用于大型基脚。图3中（c）为斜坡基脚，须使用人工修饰故经济性较差。