有向图的泛弧和点不相交圈相关问题的研究

围绕有向图的泛弧和点不相交圈相关问题，我们首先研究了不同度条件下图中点不相交圈的存在性，在这个基础上考虑了度条件下标准重图中点不相交圈的存在性，并首次系统研究了三部图和三部重图中点不交的圈，把有向图的部分结果推广到重图中。接着，我们研究了度条件很弱的情况下，图包含一些点不相交的子图（如K4¯）的问题，并得到了最小度的最好下界。此外，我们利用公平划分来研究恰有三个主特征值的单圈图类，同时利用最大平均度研究了图的均匀和列表均匀染色问题。最后，我们考虑了交换交叉立方体的连通性和超连通性。项目执行期间，我们与国内外学者深入交流，参加国内外学术会议并作报告，加强了与国内高校间的交流和合作。我们圆满完成了研究计划，取得了一系列的具有独创性的结果。本项目的研究涉及到组合数学，计算机网络，交通运输及生物信息学等学科，问题的解决对组合数学，图论，计算机网络及交通运输业等的发展都有重要的意义。

有向图的结构问题是图论的一个重要的研究领域，而泛弧和点不相交圈的存在性是有向图结构问题的一个重要分支，它和图的因子理论及染色问题等有着非常密切的关系。本项目主要研究有向图的泛弧和点不相交圈的存在性，关于这个课题还有很多问题没有解决。首先，本项目研究强连通、圈连通等条件下有向图泛弧的存在性，深入讨论有向图中泛弧的数量，力求找到尽可能多的泛弧。其次，我们还研究有向图的另一种重要结构，即有向图中点不相交圈的存在性，试图解决或部分解决Bermond-Thomassen 猜想的相关问题。最后，我们考虑圈的长度，研究有向图中点不相交的具有指定长度的圈，力求寻找最好的度条件。本项目的研究涉及到组合数学，计算机网络，交通运输及生物信息学等学科，问题的解决对组合数学，图论，计算机网络及交通运输业等的发展都有重要的意义。

消弧线圈顾名思意就是灭弧的 ，是一种带铁芯的电感线圈。它接于变压器(或发电机)的中性点与大地之间，构成消弧线圈接地系统。电力系统输电线路经消弧线圈接地，为小电流接地系统的一种。正常运行时，消弧线圈中无电流通过。而当电网受到雷击或发生单相电弧性接地时，中性点电位将上升到相电压，这时流经消弧线圈的电感性电流与单相接地的电容性故障电流相互抵消，使故障电流得到补偿，补偿后的残余电流变得很小，不足以维持电弧，从而自行熄灭。这样，就可使接地故障迅速消除而不致引起过电压。

本项目主要研究图论中整数流、群连通度问题、欧拉子图的存在即网络容错性及相关问题，它包括图的处处非零的3-流问题、群连通度（Group connectivity）、 群着色问题及相关问题。 著名数学家Tutte教授（1954）提出的3-流猜想(Bondy和Murty的《Graph with applications》中未解决问题48):任何4-边连通图有非零3-流: 法国数学家 Jeager教授(1992) 把整数流问题推广到群连通度问题。而群着色问题作为群连通问题的对偶问题提出来的。 平面图的染色是与平面上的整数流等价。因此， 整数流问题、群连通问题和染色问题是图论研究的主流问题之一。 我们对对这些问题进行深入、系统的研究，取的一批重要成果。我们刻画了度条件与群连通性、 度系列与群连通性、禁用子图与群连通性、平面图的群着色。因为平面上整数流的问题和染色问题是等价的， 因此我们研究了平面图的着色以及强边着色等问题。我们还研究了线图的Hamilton性、度条件与欧拉连通子图的存在性, 因子的存在性和网络的容错性等问题。 2100433B