有限单元法基础

王焕定，哈尔滨工业大学教授，博导。

1964年毕业于西安冶金建筑学院（现西安建筑科技大学）应用力学专业，一直从事力学教学工作，1987年担任结构力学教研室主任，l990年评为教授，l997年聘为博导。

曾为中国建筑学会建筑结构计算机应用学组成员，黑龙江省力学学会理事，高等学校工科力学课程教学指导委员会委员（1990-2000）。现任中国工程抗震理论及计算软件专业委员会主任。

1993年获黑龙江省教育系统劳动模范称号，1995年获宝钢优秀教师称号，1998年获全国优秀教师称号，2005年所负责的课程（结构力学）被评为国家级精品课程，2007年获得国家级教学名师奖，2008年所主持的力学课程教学团队被评为国家级教学团队。编著、译著结构力学、有限单元法等教材9套。

主要符号表

第1章 绪论

1-1 有限单元法的分析过程

1-2 有限单元法发展概况

1-3 学习指导

第2章 变形体虚位移原理

2-1 弹性力学的基本方程及其矩阵表示

2-1-1 平衡(运动)微分方程

2-1-2 小变形的几何方程(位移一应变关系)

2-1-3 边界条件(边界处平衡和协调条件)

2-1-4 线性弹性体的物理方程(本构关系)

2-1-5 物理量的矩阵表示

2-1-6 弹性力学基本方程的矩阵表示

2-2 外力总虚功·虚位移原理表述和证明

2-2-1 弹性力学平面问题外力总虚功

2-2-2 变形体虚位移原理表述和证明

2-3 最小势能原理及里兹法

2-3-1 最小势能原理

2-3-2 最小势能原理与位移法

2-3-3 里兹法

2-4 结论与讨论

2-4-1 主要结论

2-4-2 一些讨论

习题

第3章 杆件体系结构单元分析

3-1 引言

3-1-1 关于离散化问题

3-1-2 杆件体系结构虚位移原理(虚功方程)

3-1-3 杆件体系结构总势能表达式

3-2 等直杆单元的单元分析

3-2-1 拉(压)杆单元

3-2-2 扭转杆单元

3-2-3 只计弯曲的杆单元

3-2-4 考虑轴向变形的弯曲单元——平面自由式单元

3-2-5 有约束单元

3-2-6 空间自由式单元

3-2-7 考虑剪切时的平面自由式单元

3-2-8 有刚域单元

3-2-9 单元分析小结

3-2-10 单元分析举例

3-3 杆件体系结构单元分析的物理实质

3-3-1 单元刚度矩阵的性质

3-3-2 单元分析的物理实质

3-4 杆件体系结构单元刚度矩阵和等效结点荷载子程序

3-4-1 一些公共的自定义数据类型部分

3-4-2 单元刚度矩阵子程序(局部坐标系)源程序

3-4-3 单元等效结点荷载子程序(局部坐标系)

3-5 结论与讨论

3-5-1 主要结论

3-5-2 一些讨论

习题

第4章 杆件体系结构的整体分析

4-1 坐标转换

4-1-1 坐标系单位矢量间的转换关系

4-1-2 各单元物理量的转换

4-1-3 整体单元刚度矩阵举例

4-2 结构整体刚度方程

4-2-1 用最小势能原理进行结构整体分析

4-2-2 直接刚度法集装整体刚度方程的规则

4-2-3 直接刚度法集装整体刚度方程举例

4-3 结构整体刚度矩阵的性质

4-3-1 性质

4-3-2 元素物理意义

4-4 整体分析的物理实质

4-5 边界条件处理

4-5-1 “划零置一”法

4-5-2 乘大数法

4-5-3 斜支承处理

4-6 单元内力的计算

4-6-1 单元杆端内力(轴力、剪力、弯矩等)的计算

4-6-2 单元内任一截面的内力

4-7 程序调试中关键量的速算方法

4-7-1 整体刚度矩阵元素速算方法

4-7-2 综合等效结点荷载元素的速算方法

4-7-3 已知结构的结点位移求指定单元杆端力的速算方法

4-8 杆件体系结构静力分析程序功能及力学建模的简要说明

4-8-1 杆件体系结构静力分析程序功能的简要说明

4-8-2 杆件体系结构静力分析力学建模的简要说明

4-9 结论与讨论

4-9-1 主要结论

4-9-2 一些讨论

习题

第5章 平面问题有限元分析

5-1 引言

5-1-1 结构离散化

5-1-2 平面问题的总势能表达式

5-2 常应变三角形单元

5-2-1 单元结点位移和结点力

5-2-2 用面积坐标建立单元位移场

5-2-3 基于最小势能原理的单元分析

5-2-4 计算实例

5-2-5 收敛准则

5-3 矩形双线性单元

5-3-1 用正则坐标建立单元位移场

5-3-2 应变矩阵和应力矩阵

5-3-3 单元刚度矩阵和单元等效荷载矩阵

5-3-4 计算结果整理

5-3-5 计算实例

5-4 平面问题计算程序PSTE的简要说明

5-5 平面等参数单元

5-5-1 基本概念

5-5-2 几种常用单元描述和位移模式

5-5-3 等参元单元特性分析

5-5-4 数值积分

5-5-5 作等参元分析时必须注意的事项

5-5-6 计算实例

5-5-7 二维和三维弹性分析计算程序简要说明

5-6 Wi1son非协调元

5-6-1 双线性单元计算纯弯曲问题的误差

5-6-2 wi1son非协调元表述

5-6-3 wi1son非协调元的收敛性

5-7 结论与讨论

5-7-1 主要结论

5-7-2 一些讨论

习题

第6章 空间问题与轴对称问题

6-1 空间问题

6-1-1 常应变四面体单元

6-1-2其他单元形式形函数

6-1-3 三维等参元单元分析

6-1-4 算例

6-2 轴对称问题

6-2-1 离散化

6-2-2 三角形环单元

6-3 结论与讨论

6-3-1 主要结论

6-3-2 一些讨论

习题

第7章 弹性板壳有限元分析初步

7-1 弹性薄板基本理论

7-2 矩形(12自由度)薄板单元分析

7-2-1 单元位移场建立

7-2-2 非完全协调元的收敛性准则

7-2-3 单元分析

7-3 柱壳分析的矩形平面壳体单元

7-3-1 单元分析(局部坐标)

……

主要参考文献2100433B

《有限单元法基础(第2版)》共分为7章，包括绪论、变形体虚位移原理、杆件体系结构单元分析、杆件体系结构的整体分析、平面问题有限元分析、空间问题与轴对称问题以及弹性板壳有限元分析初步等内容。

本次修编对内容构架未做大的改变，在保持本科教学基本要求的前提下，考虑到当前研究生入学时的知识水平和研究生教学的要求，新增了关于力学建模、逐步精细化分析技术、板壳分析的加深内容和工程分析中的若干问题等教学内容。

《有限单元法基础(第2版)》可供土木、交通、水利和工程力学专业本科教学和部分土木、交通、水利专业的研究生使用，也可作为有关工程技术人员学习有限单元法的入门参考书。

全书分为两篇共17章。第1篇（第1-7章）为基本部分，包括有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理；弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式，单元和插值函数的构造，等参元和数值积分，有限单元法应用中的若干实际考虑，线性代数方程组的解法，有限单元法的计算机程序。第2篇（第8-17章）为专题部分，包括（杆、板、壳）结构力学问题，场和动力问题，以及（材料、几何、接触）非线性问题3个部分。本书反映了有限单元法的学科上和应用方面的发展水平，凝聚了作者本人和所在教研组长期教学实践的经验。书中每章附有复习思考题和练习题。书末还附有用于求解不同类型线弹性问题计算机实践的教学程序。 本书可作为力学、机械、动力、航空航天、土木、水利等专业本科生和研究生的教材，也可作为上述专业教师和工程技术及科研开发人员的参考书。

有限单元法第0章绪论1

0.1有限元法的要点和特性1

0.2有限元法的发展、现状和未来5

0.3本书概述9

有限单元法第1篇基 本 部 分

第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理13

1.1引言13

1.2微分方程的等效积分形式和加权余量法14

1.3变分原理和里兹方法28

1.4弹性力学的基本方程和变分原理36

1.5小结51

复习题52

练习题53

第2章弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式55

2.1引言55

2.2弹性力学平面问题的有限元格式56

2.3广义坐标有限元法的一般格式77

2.4有限元解的性质和收敛准则82

2.5轴对称问题的有限元格式85

2.6小结93

复习题94

练习题95

第3章单元和插值函数的构造98

3.1引言98

3.2一维单元101

3.3二维单元105

3.4三维单元117

3.5阶谱单元122

3.6小结127

复习题128

练习题129

第4章等参元和数值积分130

4.1引言130

4.2等参变换的概念和单元矩阵的变换131

4.3等参变换的条件和等参元的收敛性136

4.4等参元用于分析弹性力学问题的一般格式140

4.5数值积分方法143

4.6等参元计算中数值积分阶次的选择153

4.7小结159

复习题160

练习题160

第5章有限元法应用中的若干实际考虑162

5.1引言162

5.2有限元模型的建立163

5.3应力计算结果的性质和处理167

5.4子结构法186

5.5结构对称性和周期性的利用192

5.6非协调元和分片试验209

5.7小结217

复习题218

练习题219

第6章线性代数方程组的解法221

6.1引言221

6.2高斯消去法及其变化形式222

6.3带状系数矩阵的直接解法231

6.4利用外存的直接解法237

6.5迭代解法240

6.6小结250

复习题251

练习题252

第7章有限元分析计算机程序254

7.1引言254

7.2有限元分析的主体程序256

7.3前处理程序263

7.4后处理程序266

7.5有限元软件的技术发展267

练习题268

有限单元法第2篇专 题 部 分

第8章有限元法的进一步基础——约束变分原理271

8.1引言271

8.2约束变分原理272

8.3弹性力学广义变分原理281

8.4弹性力学修正变分原理286

8.5不可（或接近不可）压缩弹性力学问题的有限元法289

8.6小结298

复习题299

练习题300

第9章杆件结构力学问题302

9.1结构单元概论302

9.2等截面直杆\|梁单元306

9.3平面杆件系统323

9.4空间杆件系统329

9.5小结331

复习题332

练习题333

第10章平板弯曲问题334

10.1引言334

10.2基于薄板理论的非协调板单元338

10.3基于薄板理论的协调板单元348

10.4Mindlin板单元（位移和转动各自独立插值的板单元）352

10.5基于离散Kirchhoff理论（DKT）的薄板单元364

10.6应力杂交板单元367

10.7小结375

复习题376

练习题377

第11章壳体问题378

11.1引言378

11.2基于薄壳理论的轴对称壳元381

11.3位移和转动各自独立插值的轴对称壳元389

11.4用于一般壳体的平面壳元398

11.5用于一般壳体的超参数壳元406

11.6相对自由度壳元415

11.7壳元和实体元的联结418

11.8壳元和梁\|杆元的联结430

11.9小结437

复习题438

练习题439

第12章热传导问题441

12.1引言441

12.2稳态热传导问题444

12.3瞬态热传导问题447

12.4热应力的计算461

12.5小结464

复习题465

练习题466

第13章动力学问题468

13.1引言468

13.2质量矩阵和阻尼矩阵472

13.3直接积分法476

13.4振型叠加法484

13.5解的稳定性491

13.6大型特征值问题的解法495

13.7减缩系统自由度的方法509

13.8小结518

复习题519

练习题520

第14章流固耦合问题523

14.1引言523

14.2无粘小扰动流动的基本方程和表达形式524

14.3流固耦合系统有限元分析的（ui,p)格式527

14.4流固耦合系统的动力特性分析533

14.5流固耦合系统的动力响应分析537

14.6小结543

复习题544

练习题544

第15章材料非线性问题545

15.1引言545

15.2非线性方程组的解法547

15.3材料弹塑性本构关系556

15.4弹塑性增量有限元分析576

15.5弹塑性增量分析数值方法中的几个问题579

15.6弹塑性全量有限元分析595

15.7热弹塑性\|蠕变有限元分析600

15.8小结613

复习题614

练习题615

第16章几何非线性问题617

16.1引言617

16.2大变形条件下的应变和应力的度量618

16.3几何非线性问题的表达格式624

16.4有限元求解方程及解法629

16.5大变形条件下的本构关系642

16.6结构稳定性和屈曲问题649

16.7算例654

16.8小结659

复习题661

练习题662

第17章接触和碰撞问题666

17.1引言666

17.2接触界面条件667

17.3接触问题的求解方案671

17.4接触问题的有限元方程678

17.5有限元方程的求解方法685

17.6接触分析中的几个问题691

17.7算例695

17.8小结700

复习题701

练习题702

参考文献704

A主要参考书704

B各章的参考文献704

附录A有限元分析教学程序（FEATP）711

A1有限元分析主体程序源代码711

A2前处理程序使用说明7622100433B

释文：岩土有限单元法是用以求解岩土体内应力场、位移场、渗流场的一种数值方法。将研究区域离散化成有限个网格单元，以网格中节点处的场函数值作为求解对象，从定解问题的变分形式出发导出相应的线性代数方程组进行求解，以达到求解系统偏微分方程的一种数值方法。 2100433B