余弦变换

离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。

最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。

有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。

离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。

例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。

一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。

离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。

在工程实际中遇见的信号般在一个有限区间或一个周期内（t₀，t₀ T)都具有有限能量。理论证明，这些信号(或函数)通常可以用相互正交的函数来表示(也就是可以用正交函数集取得最佳的近似）。所谓函数x₁(t)和x₂(t)正交，则表示信号x₁(t)不包含信号x2(t)的分量，满足图1公式的条件。若函数cosnω_ot和sinmω_ot在同一区间内相互正交，则x(t)可以由正弦函数和余弦函数作三角型的傅里叶级数展开。如果信号是一个连续的实数，且对称于纵轴的偶函数，则该级数只有余弦分量。同理，把一个离散序列x(n)延拓成偶对称序列，则其离散傅里叶变换（DFT)也只包含余弦项。余弦变换就是1974年由N．阿罕麦德（N．Ahmed)等根据这一基本关系提出的一种正交变换。一个长度为N的实序列x(n)，其离散余弦变换（DCT)定义为

正变换如图2：

DCT与DFT同属正弦型的正交变换，它含有DFT的全部信息，从而可以通过DCT对信号进行分析和综合。按正交变换，在变换域中信号能量不仅等于原时间域（或空间域）的信号能量，而且能量往往比较集中于变换式少数几项系数之中。所以若丢弃包含能量小的系数，则所造成的失真较小，这就为数据压缩提供有利条件。理论推导表明，DCT很接近具有最佳能量集中特性的卡洛变换（K-L变换），但与K-L变换相比，由于它存在快速算法，所以正弦型变换中特性最好的变换。在工程实际中应用广泛，特别在图像通信对图像传输中的数据压缩、编码和图像增强等的效果，均较DFT方法为好。在自适应信号处理中，提高自适应滤波收敛速度以及语音压缩编码等方面有着广阔应用前景。此外，DCT还具有较弱的边界效应特性，使信号处理的结果在边界处引入的误差比DFT小，可以降低对窗函数的要求，简化运算。

离散余弦变换被广泛的应用，像是资料压缩、特征萃取、影像重建等等。多维度离散余弦变换为：

离散傅立叶变换和离散余弦变换常常被使用在讯号处理 和影像处理，也常被用来当作解偏微分方程式时更有效率的方法。离散傅立叶变换也可用在运算折积或是乘上很大的整数。下列只列出一些例子。

影像处理

离散余弦变换被用在 JPEG 影像压缩、MJPEG、MPEG、DV和 Theora影片压缩上。压缩时使用NxN'格的二维的离散余弦变换(DCT-II)然后再被量化且用熵编码法编码，通常N为8，而DCT-II的运算就用在该格的每一行和每一排，结果会生成8x8的变换系数矩阵，其中(0,0)(左上角)的值是直流分量(频率为0)，随着水平或垂直的编号增加，代表水平或垂直的空间频率增加，如图1所示。

在影像处理方面，利用二维的离散余弦变换可以分析并且描述非常规的图形加密方法，像是在二维图像平面中插入非可见的二进位制水印。 利用不同的方向，DCT-DWT混杂的转换也可以用来去除超音波影像的噪声。三维的离散余弦变换可以被用来转换在使用水印影像迁入的影片资料或是三维影像资料。

频谱分析

当使用离散傅立叶变换来做频谱分析时，{xn}的数列通常代表着从讯号 x(t)中在均匀的时间点做取样所得到的有限集合，这样将连续时间点经取样离散化后，也将原本的傅立叶变换转变成离散时间傅立叶变换(DTFT)，通常也因此产生了混叠的失真。为了要最小化这种失真，选择适当的取样频率是重点(详情请看取样定理)。同样的，将一个非常长(或无限)的数列转变成一个容易处理的大小，会因此造成失真(Spectral leakage)，选取一个适当的子数列长度是最小化这个问题的关键点。当资料量大于达到理想频率分辨率所需的适量时，标准的作法是使用多个DFT，例如产生频谱图的时候。如果所期望的结果是功率频谱而且有噪声或随机讯号出现在资料内的话，多个DFT的振幅平均值可以用来减少频谱的变异性，Welch method和Bartlett method就是这种技术。一般处理这种用来估计有噪声的讯号的功率频谱的方法就称为频谱估计。

其实会造成失真的主要源头就是DFT本身，因为DFT是将DTFT这种连续性的频域做离散取样的结果，可以利用提高DFT的频率分辨率来减缓这问题。

• 这种方法有时候也被认为是零填充，这是一种被用在快速傅立叶变换的一种特别应用。这种因为值为零的取样点而产生的乘法与加法比原本的FFT产生偏移还要没有效率。

• 如上面所言，失真(leakage)的问题对DTFT的频率分辨率造成了限制，因此会对透过提高频率分辨率的效益造成限制。

偏微分方程式

离散傅立叶变换时常被用来解偏微分方程式，其中DFT是被用来近似傅立叶级数，其优点在于将讯号延伸为复数指数函数

用快速傅立叶变换处理影像艺术面的分析

我们必须使用没有损害的方法去得到一些关于艺术稀有的资讯(从HVS的观点是着重于色度法以及空间资讯)。我们可以透过观察色彩变化或是测量表面一制性的变化来了解艺术，因为整个影像是非常大的，所以我们会使用一个双生的余弦窗去撷取影像：

其中一个常用的多维度变换就是傅立叶变换，是将一个讯号的表示式从时域/空域转换到频域。 离散域的多维度傅立叶变换可表示成下列式子：

快速傅立叶变换(FFT)是一种用来计算离散傅立叶变换(DFT)和其逆变换的快速算法，快速傅立叶变换所得到的结果跟按照定义去算离散傅立叶变换的结果是一样的，但唯一的差别是快速傅立叶变换的速度快很多。（在舍入误差的存在下，很多快速傅立叶变换还比直接照定义算还更精准。）有很多种快速傅立叶变换，他们包含很广泛的数学运算，从简单的复数运算到数论和群论，详情可以看快速傅立叶变换。

多维度的离散傅立叶变换是离散域傅立叶变换的简单版本，其方法是在均匀间隔下的样本频率去估计其值 .

逆多维DFT方程是: