圆周角定理

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证:∠BOC=2∠BAC.

证明:

情况1:

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时:

∵OA、OC是半径

解:∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2:

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时:

连接AO，并延长AO交⊙O于D ∵OA、OB、OC是半径

解:∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3:

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时: 连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

解:∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆心角等于180度的情况呢?

看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，

显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠ABC)/2=90度

所以2∠ACB=∠AOC

圆心角大于180度的情况呢?

看情况3的图，圆心角是(360度-∠AOB)，圆周角是∠ACB，

只要延长CO交园于点E，由圆心角等于180度的情况可知∠CAE=∠CBE=90度

所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB

由情况2可知:∠AOB=2∠AEB

所以360度-∠AOB=2(180度-∠AEB)=2∠ACB

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

已知:如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

求证:PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠DAP=∠BCP

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP (如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。)

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

如图所示。

已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证:AP·BP=CP·DP

证明:连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定义)

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP(同角的补角相等)

∴△ACP∽△DBP(两角对应相等的三角形相似)

∴AP/DP=CP/BP(相似三角形对应边成比例)

∴AP·BP=CP·DP(比例基本性质)

根据切割线定理求证。

已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证:AP·BP=CP·DP

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知:AP·BP=PT²，CP·DP=PT²

∴AP·BP=CP·DP