圆周角

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。证明：

情况一：先考虑一种特殊情况——圆心O在圆周角∠BAC的边上（如图一）.由三角形外角性质有

但

情况二：如果圆心O在圆周角∠BAC的内部（如图二），可以划归为前一种类型——引直径AD。∠BAD，∠CAD都是圆心在边上的圆周角。则有：

两式相加即得

.情况三：如果圆心O在圆周角∠BAC的外部（如图三），仍可以 划归为前一种类型——引直径AD。这时∠BAD，∠CAD都是圆心在边上的圆周角。则有：

两式相减即得

这样，即完成了定理的证明。圆周角定理有如下推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。

命题1: 在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>∠B>∠C。

命题2: 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。

证明：如图，过C作CE//AB，交圆于E，（如图四）

则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC

所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半

即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半

∠B的度数等于弧AC的度数的一半

同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

圆内角的证明完全类似：

过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠C的度数等于弧DE的一半，

弧DE=弧BD 弧BE=弧BD 弧AC

所以∠APC的度数等于“弧BD 弧AC”的一半

即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”

另外也可以连接BC进行证明

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角。在同圆或等圆中，两圆周角相等，则其所对的弦(或弧)也相等；反之，等弧所对的圆周角相等。而等弦所对圆周角相等或相补，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角，或说这一弧所对的圆周角。另外，角的外部也有一段圆弧，我们还把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。