有理插值曲面构造、控制的理论和算法研究

曲面的表示、生成和约束控制是计算机辅助几何设计的中心问题，其基础是曲面几何造型的数学理论和方法。本项目在研究规则区域上矩形剖分下的有理样条插值问题的基础上, 主要研究非规则区域上散乱数据的有理样条光滑曲面插值问题。对于规则区域上的插值问题，利用已导出的对称基研究其点控制的理论和方法；对于非规则区域上散乱数据，通过参数约束方法与B网方法的结合研究三角剖分下带参数的有理光滑插值样条曲面的生成与约束控制的理论和算法,导出的插值样条将具有简洁的显式表示；给出的方法将是散乱数据二元插值曲面可以进行局部和整体修改的创新方法。这些方法将为计算机辅助几何设计中曲面构造和控制开辟一条崭新的路子。 2100433B

本项目基本按计划实施。在细分算法方面，我们对细分算法的收敛性，目标函数的光滑价，多项式再生性，保型性进行了研究并归结成了一个易于应用的表格。为应用中构造适合特定目的的细分算法提供了方便。在散乱数据插值特别是径向基函数插值方面，我们发现了正定径向基函数的Bochner定理，获得了紧支柱正定径向基函数的数学性质，并找到了一系列紧支柱的正定径向基函数。之些结果得到了国际同行的注意。已经在多篇文章中出现把我们找到的这类函数为WU’S函数。有的文章还设立专门章节讨论WU’S函数的性质。我们还在项目相关的领域进行了研究，共发表了各种论文20余篇。文章被国际同行广泛引用，并被应用到一些应用领域如航天器外壳受压分析，油藏描述。 2100433B

曲面上曲线对于曲面性质的研究具有重要作用。随着计算机辅助设计和计算机图形学的发展，几何设计对象日益多样化，对几何设计的要求也越来越严格，随之出现的几何设计中的大量问题，必须通过深入研究曲面上曲线来解决。本项目把握几何设计发展的新趋势，对初露端倪的曲面上曲线设计这一新问题进行系统研究。设计在参数曲面，隐式曲面，和网格曲面上计算插值曲线，等距曲线，以及等曲率线，等照度线等特殊曲线的有效算法，并建立曲面上曲线设计的理论基础。通过对参数曲面上参数曲线网以及某些特殊曲线的研究，解决目前计算机辅助设计与制造领域亟需解决的参数曲面代数品质与几何品质的评价优化问题；建立网格曲面品质的评价标准，通过对代数曲面上曲线基于几何的运动研究，解决代数曲面网格化的拓扑一致性问题。进一步，建立评价和优化曲面代数和几何品质的理论基础，设计一套实用有效的算法，为计算机辅助设计系统提供崭新工具和理论储备。 2100433B