线性系统理论

与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统；除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量；在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。

线性系统理论的主要内容包括：①与系统结构有关的各种问题，例如系统结构的能控与能观性、结构分解问题和解耦问题等。②关于控制系统中反馈作用的各种问题，包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。③状态观测器问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。④实现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要研究课题是最小实现问题。⑤几何理论，即用几何观点研究线性系统的全局性问题。⑥代数理论，用抽象代数方法研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模论方法。⑦多变量频域方法，是在状态空间法基础上发展起来的频域方法，可以用来处理多变量线性系统的许多分析和综合问题，也称现代频域方法。⑧时变线性系统理论，研究时变线性系统的分析、综合和各种特性。数值方法和近似方法的研究占有重要地位。

线性系统科学技术是一门应用性很强的学科，面对着各种各样错综错杂的系统，控制对象可能是确定性的，也可能是随机性的，控制方法可能是常规控制，也可能需要最优化控制。控制理论和社会生产及科学技术的发展密切相关，近代得到极为迅速的发展。线性系统理论是现代控制理论中最基础、最成熟的分支，是控制科学重要课程之一。

线性系统理论内容丰富、思想深刻、方法多样、充满美感，不仅提供了对线性控制系统进行建模、分析、综合系统完整的理论，而且其中蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化，为系统控制理论的其它分支乃至其它学科提供了可借鉴的思路，它们是解决复杂问题的一条有效途径。

线性系统理论的发展经历了“经典线性系统理论”与“现代线性系统理论”两个阶段。

经典理论形成于20世纪三四十年代。奈奎斯特于1932年提出了关于反馈放大器稳定性的理论；波特于20世纪40年代初期引入了波特图；伊万思于1948年提出了根轨迹理论。这些标志着经典线性控制理论的形成。经典理论的应用在第二次世界大战中取得了巨大成功，主要研究单输入单输出线性时不变系统。

20世纪50年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，这种状况推动线性系统的研究，在1960年以后从经典阶段发展到现代阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于对多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性这两个基本概念，并提出相应的判别准则。1963年他又和E.G.吉尔伯特一起得出揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的工作。1965年以后，现代线性系统理论又有新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算机辅助设计问题也受到普遍重视。

很多实际系统都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用范围十分广泛。在航空、航天、化工、机械、电机等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题。例如时下很热门的一个研究方向——智能控制。

智能控制（Intelligent Control）是传统控制发展的高级阶段，是控制技术高度分化且综合的重要产物。由于一些被控独享呈现高度的时变性、非线性、时滞性和不确定性，简单的控制策略已不能满足现代控制的要求，综合的、集成的智能控制技术成为研究和应用的热点。智能控制作为一门新的学科分支，得到了普遍的承认，并且已经被广泛的应用于工业、农业、服务业、军事航空等各个领域。近年来，随着人工智能技术和其他信息处理技术，尤其是信息论、系统论和控制论的发展，智能控制在机理和应用实践方面取得了突破性的进展。遗传算法与模糊逻辑、神经网路相互融合，通过模拟认得思维方式和结构来设计用于解决复杂的各种非线性问题的控制策略，并已在各种实际工程项目中得到应用，取得了良好的效果。分布式人工智能中的Agent和Multi Agent System已成为研究的热点，构建基于Agent的集散递阶结构的智能控制系统为智能控制注入了新的活力。

许多工业连续生产线上，例如：化工、冶炼、材料加工、轧钢等，由于反应机理复杂，关联耦合严重，环境干扰不确定，要求与约束多样等原因，对其系统运行情况和过程的信息了解较少，自动化集成控制应用存在一定的难度，需要运用智能控制模式。生产过程的智能控制主要包括两个方面：局部级和全局级。局部级的智能控制是将智能引入工艺过程的某一单元进行控制器的设计，例如专家控制器、智能PID控制器、神经元网络控制器等。全局级的智能控制主要针对整个生产的自动化，包括整个操作工艺的控制，过程的故障诊断，规划过程操作处理异常等。针对局部智能控制设计，目前研究的热点是智能PID控制器的设计。因为PID控制至今仍是工业控制中最广泛的控制规律，单常规的PID控制已不鞥满足现在复杂的工业生产，所以就有必要将人工智能技术与传统的PID控制规律结合为智能PID控制。通过智能技术的加盟，智能PID控制器相比传统的PID控制器，在参数的整定和在线自适应调整方面有其显著的优越性，并可用于控制一些非线性的复杂对象。专家控制系统把专家操作经验和计算机强大的计算机能力结合起来，具有启发式推理的能力，能对时变、非线性、易受干扰的复杂控制对象取得较好的控制效果，主要应用于系统设计、仿真建模、参数整定、故障检测及过程监控。 2100433B

线性系统理论中用几何学的语言和方法研究线性系统的一个理论分支。几何学语言和方法的特点是比较形象和直观，适宜于描述全局性的问题。线性系统几何理论产生于70年代初期，以W.M.旺纳姆为代表的研究者已形成为线性系统理论研究中的一个有影响的学派。线性系统几何理论主要采用状态空间法描述线性系统，基本思想是把能控性和能观测性概念通过不同形式的状态子空间的几何性质表示出来，并在几何空间的范围内加以分析。采用几何方法研究线性系统已得到一些有意义的结果。例如，引进(A，B)不变子空间和(A，B)能控子空间的概念可得出一些新的综合设计思想，如扰动解耦、输出稳定化、输出调节、结构稳定性等。将几何方法用于无交互作用的控制问题又可得到有实用意义的结构理论。几何理论的思想和方法也已推广到分散控制、广义线性系统等其他领域。

第一章　线性动态系统的数学描述

§1　引言

§2　时间域上线性系统的数学描述

2.1　线性系统的输入输出描述

2.2　线性系统系统的状态空间描述

§3　频率域上线性定常系统的数学描述

3.1　传递函数矩阵描述

3.2　矩阵分式描述

3.3　多项式矩阵描述

3.4　各种数学描述方法的互换

第一章习题

第二章　线性系统的动态分析

§1　线性系统的时域分析

1.1　典型输入函数

1.2　阶跃响应分析

1.3　典型系统分析

1.4　稳态响应分析

§2　线性系统的频域分析

2.1　频率特性

2.2　频率特性的表示法

2.3　频率特性分析

§3　线性系统动态方程的解

3.1　状态空间描述的解

3.2　基于主导极点的近似分析

3.3　线性时变系统的解

第二章习题

第三章　控制系统的稳定性

§1　线性系统的输入输出稳定性

1.1　线性赋范空间

1.2　输入输出稳定性

§2　控制系统的李雅普诺夫稳定性

2.1　李雅普诺夫稳定性

2.2　李雅普诺夫稳定性的条件

2.3　线性系统的李雅普诺夫稳定性

2.4　劳斯-赫尔维茨稳定判据

§3　控制系统的内部稳定性

3.1　内部稳定性

3.2　奈奎斯特（Nyquist）稳定判据

3.3　根轨迹法

第三章习题

第四章　线性系统的能控性和能观性

§1　线性系统的能控性

1.1　能控性定义

1.2　能控性判据

1.3　能控性指数

1.4　能控性子空间

§2　线性系统的能观性

2.1　能观性定义

2.2　对偶性原理

2.3　不能观子空间

§3　线性系统的标准型

……

第五章　实现理论

第六章　极点配置问题

第七章　解耦和干扰解耦

第八章　分散控制系统

附录　多项式矩阵和有理函数矩阵

参考文献2100433B

本书的设想是让一个对线性控制理论不甚了解或完全不了解的读者能够较快地掌握到本世纪80年代之前在线性控制理论研究方面的主要结论。学习本书要求掌握代数，微分方程、复变函数及泛函分析的基础知识，尤其是应该精通矩阵理论，而泛函分析实在很基本。本书的内容大致分成两类：传统内容和补充内容，这里所说的补充内容是指在寻常的教材中不多见的内容。传统内容指第二、第三、第四、第五各章和第六章的一部分。第二章讲述经典控制理论，编者之所以还要讲述这部分知识，是因为经典控制技术在当前的工程界还有着广泛的应用。该章用浓缩的方法，介绍了经典控制中的时域分析法。第三章讨论稳定性，编者采用比较现代的语言和方法来处理这章的内容，同时，一些经典的稳定性判据也放在该章。第四章是能控性和能观性，这是60年代以来线性系统教材的传统内容，本章的特点是对能控性指数作了较为深入的讨论，因为这类指数在以后的设计理论中有重要的作用。第五章关于实现理论，在沟通经典控制方法和现代控制方法时，在时域与频域描述相互转换时，实现是一项根本的手段，本书在实现的形式上没有很多的展开，重点放在实现的性质上。第六章的前一部分讨论状态反馈的极点配置问题，一般的线性系统教材都会有这部分内容，该章关于观测器设计的内容也较为常见，所以编者将它也作为传统的部分；而该章讨论的输出反馈极点配置问题和特征结构配置在一般的教材中不常见，特征结构配置可以认为是一种资源利用，它在进一步的精确设计中有很大作用，而输出反馈的极点配置问题至 今尚未完全解决，编者的意图是让读者了解这些问题，掌握研究的一般方法。第七章和第八章的内容称为补充内容，在教材中不多见。第七章讨论解耦和干扰解耦，这是系统设计中的两项重要内容。该章介绍的逆系统算法是70年代提出的一种有用的设计方法，还讨论了系统的无穷零结构。在许多设计中，如果能消除系统耦合，设计便转化为单输入单输出系统的问题，方便得多了，所以解耦在工程上是很有实际意义的设计；系统总会受到干扰，抗干扰性也是控制系统的一大性能指标，本章考虑的是系统输出完全解脱外界干扰的条件。第八章研究分散控制系统。与分解与协调方法不同，分散控制假定各子系统间完全没有信息交流。由于大系统的地域辽阔、信息割裂等特点，分散控制是大系统设计的一种重要的实用方法。编者有意介绍在70年代取得的另一个重要成果：鲁棒伺服控制。但由于篇幅原因，不得不割爱。为了使读者对多项式矩阵理论有一个统一的起点，附录给出有关多项式矩阵的一些有用结论。

本书只考虑确定性系统，因而对70年代以来迅速发展的H控制以及近年来的智能控制没有涉及，也没有讨论随机系统的控制问题。由于对于自动控制专业的读者来讲，本书的大部分内容是基础的，因而书中对于几乎所有的定理给出了严格证明。但是如果读者对证明的理解产生困难的时候，不妨先记住结论而继续读下文。