线性规划中的退化问题

1. 若在最终表中原问题的解为非退化最优解，而其对偶问题的最优解为退化解，则原问题一定有无穷多个最优解。此时，以检验数为零的非基变量为入基变量，用单纯形法继续迭代，即可求出原问题的其它最优解；

2. 若在最终表中原问题的解为退化最优解，而其对偶问题的最优解为非退化解，则对偶问题一定有无穷多个最优解。此时，以原问题基变量中等于零的分量为出基变量，用对偶单纯形法继续迭代，即可求出对偶问题的其它最优解；

3. 若在最终表中原问题与对偶问题的最优解均为退化最优解，则可采用单纯形法也可采用对偶单纯形法继续迭代，至于问题是否有无穷多个最优解，要根据具体情况再做判断。

线性规划理论在工程设计、生产管理、交通运输、国防等领域以及自然科学的很多学科中都有着广泛的应用。线性规划问题虽然是一个古老的问题，但求解线性规划问题的方法在不断发展：从单纯形法、对偶单纯形法、椭圆方法到内点方法等等。虽然线性规划有这么多解法，但是单纯形方法在其中的统治地位始终没变。对于退化线性规划问题，用单纯形方法求解时有可能产生循环，因此，研究退化线性规划问题成为人们研究线性规划问题的一个重要方面。1952年A. Charnes和W. W. Cooper给出了求解退化线性规划问题的摄动法，1954年G. B. Dantzig, A. Orden和P. Wolfe提出了求解退化线性规划问题的字典序法，1976年G. G. Bland提出了求解退化线性规划问题的Bland法则，这些方法都能避免循环发生。

当线性规划原问题是退化问题时，由线性规划问题的几何解释可知，通过该可行域某个极点的超平面超过n个，所以该点为一个退化的极点。根据摄动法原理，可在退化问题约束方程的右边项做微小的扰动，使得超平面有一个微小的位移，原来相交于一点的若干个超平面略微错开一些，退化极点变成不退化极点。决策者可根据问题的实际情况，适当增加或减少某些资源的数量，使得其迭代变为非退化的，以得到问题的最优解。

在线性规划原问题是退化问题时，不能简单地认为某一求解过程中的影子价格为0，所对应的资源一定是富余资源。由上述问题得到的最优解，对约束方程进行计算，得到约束方程的三个方程全部取等式，即三种资源在最优解的情况下，松驰变量均为零。由资源的灵敏度分析可知，在此约束条件下，资源正恰好按最优方式全部用完，目标函数总收益达到最大。所以当线性规划原问题为退化问题时，资源的影子价格不数的数称为“下溢”。

线性规划是最优化问题中的一个重要领域。在作业研究中所面临的许多实际问题都可以用线性规划来处理，特别是某些特殊情况，例如：网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要。现阶段已有大量针对线性规划算法的研究。很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题，然后逐一求解。在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念，建立了最优化理论的核心思维，例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中，线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收。乔治·丹齐格被认为是线性规划之父。

每个线性规划问题，称为原问题，都可以变换为一个对偶问题。我们可将“原问题”表达成矩阵形式：

maximize

subject to

而相应的对偶问题就可以表达成以下矩阵形式：

maximize

subject to

这里用

例子

上述线性规划例子的对偶问题：

假如有一个种植园主缺少肥料和农药，他希望同这个农夫谈判付给农夫肥料和农药的价格。可以构造一个数学模型来研究如何既使得农夫觉得有利可图肯把肥料和农药的资源卖给他，又使得自己支付的金额最少？

问题可以表述如下

假设

土壤退化(soil degradation)已成为严重的全球性环境问题之一，直接危及人类的生存基础和生存环境。全球共有20亿hm2的土壤资源受到土壤退化的影响，占全球土地面积的6.5%，即全球农田、草场、森林与林地总面积的大约22%的土壤发生了不同程度的退化。我国土壤退化现象非常严重，据统计，因水土流失、盐演化、沼泽化、土壤肥力衰减及酸化等造成的土壤退化面积约4.6亿hm2,占全国土地面积的40%，是全球土壤退化总面积的1/4。因此，认识土壤退化性质与发展规律，在不同尺度、不同水平上防治土壤退化，确保粮食安全、维护生态环境健康已成为公众关注的重要议题。

为了正确理解土壤（地）退化的概念，可从以下三方面进行认识：

①土壤（地）退化的原因：土壤退化虽然是一个非常复杂的问题，但引起其退化的原因是自然因素和人为因素共同作用的结果。自然因素包括破坏性自然灾害和异常的成土因素（如气候、母质、地形等），它是引起土壤自然退化过程（侵蚀、沙化、盐化、酸化等）的基础原因。而人与自然相互作用的不和谐即人为因素是加剧土壤（地）退化的根本原因。人为活动不仅仅直接导致天然土地的被占用等，更危险的是人类盲目的开发利用土、水、气、生物等农业资源（如砍伐森林、过渡放牧、不合理农业耕作等），造成生态环境的恶性循环。例如人为因素引起的“温室效应”，导致气候变暖和由此产生的全球性变化，必将造成严重的土地退化。水资源的短缺也促进土壤退化。

②土壤退化的本质：就是土壤（地）资源的数量减少和质量降低。土壤资源在数量上是有限的，而不是无限的。随着土壤退化的不断加剧，土壤（地）数量逐渐减少。对于人多地少的中国，潜在危险较大的是土壤质量的降低。从这个意义上来看，改良和培肥土壤，保持“地力常新”，提高土壤质量，是一项具有战略地位的重要工作。由此可见，土壤退化和土壤质量是紧密相关的一个问题的两个侧面。因此，要正确认识人与自然的关系，按照自然规律搞好生态环境建设、区域开发、兴修水利、合理耕作、培肥土壤，以防止土壤质量的退化。

③防治土壤退化的首要任务是保护耕地土壤：因为耕地土壤是人类赖以生存最珍贵的土壤（地）资源，是农业生产最基本的生产资料，是农业增产技术措施的基础。耕地土壤退化虽然受不利自然因素的影响，但人类高强度的利用、不合理的种植、耕作、施肥等活动，是导致耕地土壤生态平衡失调、环境质量变劣、再生能力衰退、生产力下降的主要原因。因此，防治土壤退化，首先要切实保护好对农业生产有着特殊重要性的耕地土壤。在讨论土地退化或土壤退化时，两者常常混为一谈。许多情形下，把土壤退化简单地作为土地退化来讨论，反之亦然。应该看到，土地是土壤和环境的自然综合体，它更多地强调土地属性，如地表形态（山地，丘陵等）、植被覆盖（林地，草地，荒漠等）、水文（河流．湖沼等）和土壤。而土壤是土地的主要自然属性，是土地中与植物生长密不可分的那部分自然条件。对于农业来说，土壤无疑是土地的核心。因此，土地退化应该是指人类对土地的不合理开发利用而导致土地质量下降乃至荒芜的过程。其主要内容包括森林的破坏及衰亡、草地退化、水资源恶化与土壤退化。

土壤退化是土地退化中最集中的表现，是最基础和最重要的，且具有生态环境连锁效应的退化现象。土壤退化即是在自然环境的基础上，因人类开发利用不当而加速的土壤质量和生产力下降的现象和过程。这就是说，土壤退化现象仍然服从于成土因素理论。考察土壤退化一方面要考虑到自然因素的影响，但另一方面要关注人类活动的干扰。土壤退化的标志是对农业而言的土壤肥力和生产力的下降及对环境来说的土壤质量的下降。研究土壤退化不但要注意量的变化（即土壤面积的变化），而且更要注意质的变化（肥力与质量问题）。