线性二次控制

线性二次控制简介

二次型，quadratic form。n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

线性二次控制二次型函数的定义

定义设z是n维列向量，称标量函数

为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。上式是二次型函数的矩阵表达式，该式又可展开为

由式2可知，二次型函数v( x)实质上是关于xi和xj的二次多项式。由于多项式中，同类项合并后可再平分系数，因此可以整理成对称系数。也就是说，一个二次型函数总可以化成二次型矩阵P为实对称矩阵的二次型函数。

如果系统是线性的，性能指标泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，并且由状态变量构成线性状态反馈系统，则这样的最优控制称为线性二次最优控制。以下介绍的是线性二次型最优控制的基本知识。首先介绍了二次性能指标，然后讨论了调节器问题。

线性二次控制二次型性能指标

二次型性能指标的一般形式如下

式中

• Q(t)一一nxn维半正定的状态加权矩阵;

• R(t)一一rxr维正定的控制加权矩阵;

• Qo一一nxn维半正定的终端加权矩阵。

在工程实际中，Q(t)和R(t)常取对角阵。

下面对性能指标中各项的物理意义作逐一解析。

被积函数中第二项

果把u看成电压或电流的话，那么Lu与功率成正比，而

表示在

式中第二项突出了对终端误差的要求，叫做终端代价函数。例如在宇航的交会问题中，由于要求两个飞行体终态完全一致，因此，必须加上这一项，以体现tf时误差足够的小，至于Qo ， R(t)的加权意义和Q(t)相仿。

如果最优控制的目的是使J →min，则其实际意义在于用不大的控制，来保持较小的误差，从而达到能量和误差综合指标的最优的目的。

线性二次控制状态调节器问题

状态调节器的任务是，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍然接近于平衡状态。在研究这类问题时通常把初始状态矢量看成扰动，而把零状态取做平衡状态。于是调节器问题就变为寻找最优控制规律“，在有限的时间区间[fto } tf」内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能指标泛函取极值。

设线性时变系统的状态空间表述为

• x, u, y一一分别为n, r, m维矢量;

• A(t)一一hxh维系统矩阵;

• B(t)一一hxr维输入矩阵;

• C(t)一一mxh维输出矩阵;

性能指标泛函如图5所示

下面给出状态调节器的解最优控制器为

最优性能指标为

式中P(t)满足下面的Riccati矩阵微分方程

边界条件

线性二次控制（Linear quadratic control）是指线性的，性能指标泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，并且由状态变量构成线性状态反馈方式。

如果系统是线性的，性能指标泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，并且由状态变量构成线性状态反馈系统，则这样的最优控制称为线性二次最优控制。以下介绍的是线性二次型最优控制的基本知识。首先介绍了二次性能指标，然后讨论了调节器问题。

线性二次控制简介

线性控制理论是系统与控制理论中最为成熟和最为基础的一个组成分支，是现代控制理论的基石。

系统与控制理论的其他分支，都不同程度地受到线性控制理论的概念、方法和结果的影响和推动。

系统是由相互关联和相互作用的若干组成部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。系统可具有完全不同的属性，如工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等。但是，在系统理论中，常常抽去具体系统的物理或社会含义而把它抽象化为一个一般意义下的系统而加以研究，这种处理方法有助于揭示系统的一般特性。

系统最基本的特征是它的整体性，系统的行为和性能是由其整体所决定的，系统可以具有其组成部分所没有的功能，有着相同组成部分但它们的关联和作用关系不同的两个系统可呈现出很不相同的行为和功能。

线性二次控制理论研究对象

线性系统理论的研究对象为线性系统，它是实际系统的一类理想化了的模型，通常可以用线性的微分方程和差分方程来描述。

在系统与控制理论中，我们将主要研究动态系统，通常也称其为动力学系统。动态系统常可用一组微分方程或差分方程来表征，并且可对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。当描述动态系统的数学方程具有线性属性时，称相应的系统为线性系统。线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统。

卷积运算是线性时不变系统分析的重要工具，很多滤波器的设计中都要用到卷积运算。下面给出线性卷积运算的定义。设有离散信号x(n)和y(n)，其线性卷积为：

与线性相关运算不同的是：

①卷积运算时，y（n）要先反折得到y(-n)。

②m>0表示y(-n)序列右移，m<0表示左移，不同的m得到不同的

式中的

令

则有

因而线性卷积运算结果序列点长也是序列x(n)的长度加上y(n)长度再减去1。

再令

得

因而卷积运算交换先后不影响结果。 2100433B

两个变量之间存在一次方函数关系，就称它们之间存在线性关系。正比例关系是线性关系中的特例，反比例关系不是线性关系。更通俗一点讲，如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话，这两个变量之间的关系称为线性关系，因而，二元一次方程也称为线性方程。推而广之，含有n个变量的一次方程，也称为n元线性方程，不过这已经与直线没有什么关系了。

数学中 Y=k*X (k为常数)，Y和X就是线性关系。