悬链线

标准方程

其中，a为常数，是曲线顶点到横坐标轴的距离。

表达式的证明

如图1，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，AB段绳子的质量为m,显然B点受力平衡，进行受力分析有：

m=σs ，其中s是右段AB绳子的长度，σ是绳子线密度，即单位长度绳子的质量。代入得微分方程

将（2）式代入（1）式得式（3）：

不妨做一次变量替换，令：

为了将积分符号去掉，对上式两边对x求导：

接下来变量分离并两端进行积分：

由于

（注意，指数-1表示的是反函数，而不是倒数。）

下面确定C的值。显然，当x=0时，y'=0，即p=0，所以将该初值条件代入我们得到的解，因为

然后利用反函数的性质，在（4）式的两边取双曲正弦：

对上式变量分析并积分：

于是得到最终的解：

上式中的C一般保留，它会随着坐标系选择的不同而取不同的值。

悬流体方程

（1）微分方程为

以下是不同a的曲线族。方程原理同悬链线一样。不同的是其表面张力分量必须等于悬挂部分的重力。

垂直方向的流体必须考虑悬流体部分，此部分不是自由流动的流体，其完全受表面张力作用。

如果张力仅仅能够维持自身旋转体重量时，摩擦阻力不考虑。

（2）垂直管道中，或者空气柱内，摩擦阻力与y正比，反重力方向，则微分方程为：

此类如同自然水管龙头的低速流体，但是它需要一个水平方向的张力作用，大小等于ky，第一类与二类均需要。

（2）水平转换张力球，水龙头如果开到很小，会发现，在最底端，水是以一个一个的小球发出，而这个小球就是张力球，水按照一定频率从悬流体中流出，而不是连续的流体，与量子力学基本相通，微分方程如下：

悬膜壳或者悬流体膜

微分方程为：

利用积分程序绘图如图2：

双曲正弦的导数：

双曲余弦的导数：

反双曲正弦的导数：

反双曲余弦的导数：

问题的起源

达·芬奇不仅是意大利的著名画家，他画的《蒙娜丽莎》带给了世界永恒的微笑，而且他还是数学家、物理学家和机械工程师，他学识渊博，多才多艺，几乎在每个领域都有他的贡献，他还是数学上第一个使用加、减符号的人，他甚至认为：“在科学上，凡是用不上数学的地方，凡是与数学没有交融的地方，都是不可靠的”。他本人在创作《蒙娜丽莎》时，认真地研究了主人公的心理，做了各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构，以及半身人像与背景间关系的构图问题。当我们欣赏着他的《抱银貂的女人》中脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时，我们注意的是项链与女人相互映衬的美与光泽，而不会像达·芬奇那样去苦苦思索这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？

这就是著名的悬链线问题，达芬奇还没有找到答案就去世了。

发展

从外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。

解决问题

与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不可能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：

我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。

可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”。

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如图3：

还有以下几个公式，可能也有用：

其中L是曲线中某点到0点的链索长度，α是该点的正切角，F0是0点处的水平张力，γ是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

悬索，即悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的得名源于在重力作用下两端固定的绳子形状。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为： y = a*cosh(x/a) c，其在工程中有一种应用，a称作悬链系数。

早在 1965 年，Scott 等就研究过俄克拉荷马州博览会场馆内悬索屋顶的悬链线作用,，但那只是一般概念上的悬链线状态,，悬索并不能产生弯矩, 只能通过索的拉力来抵抗外载荷。

通常我们说的是框架结构中的水平受弯构件在大变形状态下的悬链线效应，此时构件的弯曲刚度仍然很大，构件内产生的弯矩仍然是抵抗外载荷的重要组成部分，因此仍然保持了水平构件的基本受力特征， 而且水平构件的变形曲线与一般的悬链线也有较大区别。

最初一些学者在研究混凝土水平构件的承载力时，较多的研究是混凝土板的薄膜效应，对于框架梁的悬链线效应研究较少，在纯弯矩作用下，板的中平面位于受拉区，因周边变形受到约束，板内将存在轴向压力, 这种轴向压力一般称为薄膜力，这就是板的薄膜效应。当板的受拉区混凝土开裂之后，实际中和轴成拱形进而产生内拱作用，板的周边支承构件提供的水平推力将减少板在竖向载荷下的截面弯矩。板在大变形状态下则产生轴向拉力，形成拉力膜效应。框架梁的悬链线效应与板的拉力膜效应在产生的机理及前提条件等方面都很类似，只是由于两个相邻板带的竖向位移不相等，它们之间存在着竖向剪力，这种竖向剪力构成了扭矩，因此板的拉力膜效应比梁的悬链线效应更加复杂。对于现浇框架梁板，板的边缘作为梁的翼缘，板的薄膜效应对梁的悬链线效应会有一定的影响。2100433B

Canonical correlation, 典型相关

Caption, 纵标目

Case-control study, 病例对照研究

Categorical　variable, 分类变量

Catenary, 悬链线

Cauchy distribution, 柯西分布

Cause-and-effect relationship, 因果关系

Cell, 单元

Censoring, 终检

Center of symmetry, 对称中心

Centering and scaling, 中心化和定标

Central　tendency, 集中趋势

Central value, 中心值

CHAID -χ2 Automatic Interaction Detector, 卡方自动交互检测

Chance, 机遇

Chance error, 随机误差

Chance variable, 随机变量

Characteristic equation, 特征方程

Characteristic root, 特征根

Characteristic vector, 特征向量

Chebshev criterion of fit, 拟合的切比雪夫准则

Chernoff faces, 切尔诺夫脸谱图

Chi-square test, 卡方检验/χ2检验

Choleskey decomposition, 乔洛斯基分解

Circle chart, 圆图

Class interval, 组距

Class mid-value, 组中值

Class upper limit, 组上限

Classified variable, 分类变量

Cluster analysis, 聚类分析

Cluster sampling, 整群抽样

Code, 代码

Coded data, 编码数据

Coding, 编码

Coefficient of contingency, 列联系数

Coefficient of determination, 决定系数

Coefficient of multiple correlation, 多重相关系数

Coefficient of partial correlation, 偏相关系数

Coefficient of production-moment correlation, 积差相关系数

Coefficient of rank correlation, 等级相关系数

Coefficient of regression, 回归系数

Coefficient of skewness, 偏度系数

Coefficient of variation, 变异系数

cohort study, 队列研究

Collinearity, 共线性

Column, 列

Column effect, 列效应

Column factor, 列因素

Combination pool, 合并

Combinative table, 组合表

Common factor, 共性因子

Common regression coefficient, 公共回归系数

Common value, 共同值

Common variance, 公共方差

Common variation, 公共变异

Communality variance, 共性方差

Comparability, 可比性

Comparison of bathes, 批比较

Comparison value, 比较值

compartment model, 分部模型

Compassion, 伸缩

Complement of an event, 补事件

Complete association, 完全正相关

Complete dissociation, 完全不相关

Complete statistics, 完备统计量

Completely randomized design, 完全随机化设计

Composite event, 联合事件

Composite events, 复合事件

Concavity, 凹性

Conditional expectation, 条件期望

Conditional likelihood, 条件似然

Conditional probability, 条件概率

Conditionally linear, 依条件线性

Confidence interval, 置信区间

Confidence limit, 置信限

Confidence lower limit, 置信下限

Confidence upper limit, 置信上限

Confirmatory Factor Analysis , 验证性因子分析

Confirmatory research, 证实性实验研究

Confounding factor, 混杂因素

conjoint, 联合分析

Consistency, 相合性

Consistency check, 一致性检验

Consistent asymptotically normal estimate, 相合渐近正态估计

Consistent estimate, 相合估计

Constrained nonlinear regression, 受约束非线性回归

Constraint, 约束

Contaminated distribution, 污染分布

Contaminated Gausssian, 污染高斯分布

Contaminated normal distribution, 污染正态分布

Contamination, 污染

Contamination model, 污染模型

Contingency table, 列联表

Contour, 边界线

Contribution rate, 贡献率

Control, 对照, 质量控制图

Controlled experiments, 对照实验

Conventional depth, 常规深度

Convolution, 卷积

Corrected factor, 校正因子

Corrected mean, 校正均值

Correction coefficient, 校正系数

Correctness, 正确性

Correlation coefficient, 相关系数

Correlation, 相关性

Correlation index, 相关指数

Correspondence, 对应

Counting, 计数

Counts, 计数/频数

Covariance, 协方差

Covariant, 共变

Cox Regression, Cox回归

Criteria for fitting, 拟合准则

Criteria of least squares, 最小二乘准则

Critical ratio, 临界比

Critical region, 拒绝域

Critical value, 临界值

Cross-over design, 交叉设计

Cross-section analysis, 横断面分析

Cross-section survey, 横断面调查

Crosstabs , 交叉表

Crosstabs 列联表分析

Cross-tabulation table, 复合表

Cube root, 立方根

Cumulative distribution function, 分布函数

Cumulative probability, 累计概率

Curvature, 曲率/弯曲

Curvature, 曲率

Curve Estimation, 曲线拟合

Curve fit , 曲线拟和

Curve fitting, 曲线拟合

curvilinear regression, 曲线回归

Curvilinear relation, 曲线关系

Cut-and-try method, 尝试法

Cycle, 周期

cyclist, 周期性