相平面法相轨迹和相平面图的性质

(1)相轨迹的斜率若相轨迹上任意一点的斜率为a，则

(2)相轨迹的对称性

按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大小相等，符号相同。

(3)相平面图的奇点

由相轨迹斜率的定义可知，相平面上的一个点只要不同时满足某一条件，则该点的相轨迹斜率确定，通过该点的相轨迹只能有一条，即相轨迹曲线簇不会在该点相交；同时满足的点称为奇点，该点的相轨迹斜率为0/0型的不定形式，通过该点的相轨迹可能不止一条，且彼此的斜率也不相同，即相轨迹曲线簇在该点相交。

(4)相轨迹的运动方向

在相平面的上半平面，x·>0，所以系统状态沿相轨迹曲线运动的方向是x增大的方向，即向右运动；在相平面的下半平面，则是向左运动。因此，有时候在绘制相轨迹时也可不用箭头标明方向。

二阶时不变系统（可以是线性的，也可以是非线性的）一般可用常微分方程来描述。若在所讨论的时间范围内，对于任意给定的时刻，系统的一组状态变量的值都是已知的，则可以掌握系统运动的全部信息。通过相轨迹，就可以做到这一点。以x为横坐标，x·为纵坐标，构成一个直角坐标平面，称为相平面；在相平面上表示系统运动状态的点(x，x·)移动所形成的轨迹称为相轨迹。相轨迹的起始点由系统的初始条件（x₀，x·₀）确定，相轨迹上用箭头方向表示随参变量时间t的增加，系统的运动方向。以各种可能的初始条件为起始点，可以得到相轨迹簇，相平面和相轨迹簇合称为相平面图。

相轨迹的绘制方法有解析法与图解法两种。解析法通过求解微分方程找出x与x·的解析关系，从而在相平面上绘制相轨迹。具体方法为参变量t消去法和直接积分法。图解法常用的有两种，即等倾线法和圆弧近似法。

1.解析法。解析法适用于比较简单，或者可以分段线性化的微分方程。可以利用直接积分法得出相轨迹方程。

2.图解法。当系统的微分方程难以求解时，可采用图解法，直接通过各种逐步作图的办法，在相平面上画出相轨迹。图解法有多种，主要是等倾线法。 2100433B

本书内容包括经典控制理论和现代控制理论两部分。在经典控制理论部分，主要介绍控制理论方面的基本知识和必要的数学基础知识，包括拉普拉斯变换、线性控制系统数学模型、时域分析法、根轨迹法、频域分析法、稳定性分析、控制系统的校正等；简单介绍非线性控制系统的描述函数法、相平面法。在现代控制理论部分，概括介绍现代控制理论的状态空间分析法、系统的能控性和能观测性。简介MATLAB语言及其在控制系统的分析与设计中的函数。本书可以作为高等院校电子信息类专业“自动控制原理”课程的教材，也可供从事相关专业人员参考。