相交理论

相交理论(intersection theory)是代数几何学中最基本的理论之一。若X是n维光滑拟射影代数簇，Y和Z是X的余维数为r和s的子簇，并且Y和Z正常地相交，也就是说Y∩Z的不可约分支的余维数都是r+s，则可以定义Y和Z沿着它们交集的某个不可约分支W _j上的相交重数i(Y，Z；W _j)，使得它与几何直观相容，然后就可定义Y和Z的相交积Y.Z为一个余维数r+s的闭链Y.Z=∑i(Y，Z；W _j)W _j。若Y和Z并非正常地相交，则根据周炜良的移动定理，可以找一个与Z代数等价的Z′，使得Y与Z′正常地相交，记Y·Z=Y·Z′，利用双线性性质，就可定义任意的余维数r的闭链与余维数s的闭链的相交。这样建立的相交理论满足一系列公理，并使得周环得以定义。

相交理论公理介绍及证明
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相交理论相关分析
相交理论常见问题
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相交释义
相交轴齿轮副简介

相交理论基本信息

中文名	相交理论	外文名	intersection theory
所属学科	数学	所属问题	代数几何
性质	代数几何学中最基本的理论之一

相交理论公理介绍及证明

定理1 设

是某给定代数闭域

上非异拟射影簇的类，则对簇

上的有理等价环元类，有一个唯一的相交理论，满足上面的A1-A7公理。

证明：定理的证明中有两个主要的成分。一个是局部相交重数的正确定义；另一个是周炜良的活动引理。有许多方式来定义相交重数。我们只提出Serre的定义，从历史的观点说它是最近的，然而却有紧凑简洁的好处。如果

正常相交，W为

的一个不可约分支，定义

其中A是W的广点在X上的局部环

及

是Y及Z在A中的理想。Serre证明了这是一个非负整数，具有所要求的性质。

另一个成分是周炜良活动引理，它说的是，如果

是非异拟射影簇X上的环元，则存在一个有理等价于Z的环元Z'，使得Y与Z'正常相交。另外，如果

是另一个这种环元，则

与

有理等价。

相交理论唯一性的证明如下：给出X上环元

，由活动引理知道，可以假定它们正常相交，于是利用化为对角线(A5)，我们可化为在

上计算

的情形。它的好处在于△是个局部完全交。因为相交重数是局部的，我们可以化到其中一个环元为Cartier除子的完全交情形。于是，重复应用法化条件(A7)便给出了唯一性。2100433B

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相交理论造价信息

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相交理论相关分析

曲面上的相交论可以概括为，存在唯一的一个对称双线性配对

，并通过下述要求来法化，即对于两条横截相交的非异曲线

恰是

与

的交点个数。证明此定理的主要工具是Bertini定理，它使我们对任意两个除子，可以在它们的线性等价类中移动它们，使其成为横截相交的不可约非异曲线的差。

高维时的情况相当复杂，相应的活动引理显得弱了一些，所以需要一个较强的法化要求。结果发现展开相交理论的最适当的方式原来是同时对所有的簇都进行讨论，连态射

的相伴函子式映射

及

，也作为结构部分被包括进去。

设X为k上任意簇，

上一个余维r的环元，是指X的余维r的闭不可约子簇生成的自由Abel群中的一个元。故可将一个环元写为

，

为子簇，

。有时要论及一个有用的概念，即与闭子概型相伴的环元。设Z是余维r的闭子概型，

是Z的所有余维r的不可约分支，定义

为相伴于Z的环元，其中

是Z在

的广点

的局部环

的长度。

设

为簇间的态射，Y为X的子簇．如果

，令

，如果

，则函数域

是

的有限扩张域，令

由线性扩张便定了X上环元的群到X'上环元的群的同态

。

现在来定义有理等价性，当

是

上线性等价的Weil除子时，称

为X上有理等价的环元。一般的情形，对所有的子簇V，及所有

上线性等价的Weil除子

让

生成了等价关系。在这个等价关系下，我们定义了X上环元的有理等价性。特别地，当X本身是正规时，余维l的环元的有理等价性与Weil除子的线性等价性一致。

对每个r，令

是X上余维r的环元的有理等价类群。以

表示分次群

，其中

。注意，

时

。还要注意到，当X为完全簇时，有一个自然的群同态，即次数，它从

到Z，由

定义。

在一个给定的簇类

上，一个相交理论由对每个

及每个

给出一个配对

构成，这些配对应满足下面列m的公理。如果

，我们以

表示其相交环元类。

在叙述公理前，还要给个定义，对

中簇间的任意态射

，假定

仍在

中，则可定义一个同态

如后：对子簇

，定义

其中

分别是

到

的投射，

是

的图，将它看为

上的环元。

上述诸元必须满足下列要求。

A1. 相交配对使

对每个

成为一个交换的可结合分次环，并具幺元，称为X的周环。

A2. 对

中簇的任意态射

是环同态，如

是另一态射，则

。

A3. 对

中簇的任意本征态射

是分次群同态(移动了分次)，如果

是另一个态射，则

。

A4. 投射公式。若

是本征态射，

，则

A5. 化为对角线。如果

为X上环元，

为对角态射，则

A6. 局部特性。如果Y与Z是X的子簇，它们正常相交(即

的每个不可约分支的余维等于

)，则可记

其中∑是对

的所有不可约分支取和，整数

仅依赖于

的广点在X中的邻域。称

为Y及Z在

的局部相交重数。

A7. 法化。设Y是X的子簇，Z是与Y正常相交的有效Cartier除子，则

恰好是Y上Cartier除子

相伴的环元，其中

在Y上是由Z的局部方程限制在Y上定义的子概型。(它特别表明，横截相交的非异子簇的重数为1)。

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相交理论常见问题

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条形基础十字相交纵向相交，横向不相交，

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相交理论文献

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