现代密码设计中的关键数学问题结题摘要

我们考虑了现代密码设计中涉及到的六个关键的数学问题：大整数分解问题、离散对数问题、有限域上非线性方程组求解、有限域上含错线性方程组的求解、格中最短向量与最近向量问题、APN猜想。我们研究了这些问题的主要进展情况、在密码学中的地位及对密码学的影响。 2100433B

本项目将考虑现代密码设计中涉及到的六个关键的数学问题：大整数分解问题、离散对数问题、有限域上非线性方程组求解、有限域上含错线性方程组的求解、格中最近向量问题、APN猜想。本项目将研究这些问题的进展情况、主要困难以及对密码学发展的影响。

拓扑优化是近年来在结构优化领域内发展迅速并日益得到广泛应用的一个重要研究方向。结构拓扑中蕴含着大量深刻的数学问题，已经有一批数学工作者进入这一领域开展研究工作。本项目以拓扑优化为背景，致力于为计算力学工作者和应用数学学者围绕拓扑优化这一主题进行跨学科研究提供交流平台、提供文献信息、创造合作机会，推动结构优化这一方向上基于问题驱动的应用数学研究。在本项目支持下，已成功组织了二次专题研讨会。通过邀请国内外在结构拓扑优化领域有重要工作的学者（如国际多学科优化协会现任主席丹麦学者Ole Sigmund，国际理论和应用力学协会前秘书长、丹麦学者Niels Olhoff、韩国工程院院士Kwak Byung Man等）向与会的应用数学/力学领域青年学者介绍拓扑优化这一前沿领域的发展历史、现状及所存在的挑战性问题，促进应用数学工作者与力学工作者协同合作，围绕拓扑优化这一主题开展合作研究。项目执行期间，我们还借助数学方法针对拓扑优化中一些难点问题开展了研究，在拓扑优化特征尺寸控制、拓扑优化计算框架、水平集方法拓展、结构拓扑优化对称性研究、结构可靠度优化问题的数学建模、点阵材料/结构多尺度并发的拓扑优化设计等方面获得了一批成果。部分成果引起了数学工作者的关注。

本项目为解决资源勘探中的粘弹性介质的反演和背景噪声反演的难点问题，与应用数学领域的随机微分方程解的性质和数值解法的热点研究方向相结合，开展应用数学领域大家普遍关心的数学物理反问题研究，为加快资源勘探突破提供理论上的支持和可行的反演算法。本项目针对资源勘探中不同地质构造环境，研究粘弹性数学模型的构建和基于偏微分方程的反问题的理论和算法；研究含随机源的随机偏微分方程，利用随机微分方程解的统计性质和边界上的观测资料，提取和重构偏微分方程解的Green函数，研究由Green函数重构偏微分方程系数的反问题的唯一性、条件稳定性、快速算法以及数值实现问题。在以下几个方面取得了进展：1、被动成像的两阶交叉关联的理论分析与算法；2、长白山火山区深部速度结构的地震背景噪声成像反演研究；3、利用接收函数研究我国东北地区的俯冲板片结构；4、龙门山断裂带深部构造变形的粘弹性模拟研究；5、关于一类具零特征的一阶线性双曲组的边界能控性等。研究成果可以被应用于解决其他相关的资源勘探中的实际问题，可以为地球物理领域的研究者提供一些新的思路和新的方法。 2100433B