无限冲激响应数字滤波器

数字滤波器(digital filter )通过对数字信号的运算处理，改变信号频谱，完成滤波作用的算法或装置。它可以用计算机软件或大规模集成电路硬件实时实现。

原理 数字滤波器是一个离散时间系统。线性、时不变数字滤波器是最基础的数字滤波器，其特性可描述为:设数字滤波器的输入和输出信号序列分别可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，则该数字滤波器的算法可由下列差分方程式表达即图1.

式中ar，br是滤波器的系数。相应滤波器的频域转移函数为图2.

转移函数是角频率ω的函数，因而它就代表数字滤波 器的频率特性。

分类 数字滤波器按其单位冲激响应h(n)性质分类，有有限冲激响应数字滤波器(FIR)和无限冲激响应数字滤波器(IIR)之分。有限冲激响应数字滤波器(FIR)一般输出和输入间无反馈路径，亦称非递归型滤波器，特性稳定。无限冲激响应数字滤波(IIR)输入间有反馈路径，故称递归型滤波器，在系数取值不当时可能引起振荡。

数字滤波器还可以按其所处理信号类型分类，分为一维数字滤波器和二维或多维数字滤波器。一维数字滤波器处理单变量函数信号序列，例如，语音信号、时间函数的抽样值。二维或多维数字滤波器处理两个变量或多个变量的函数信号序列，例如，二维图像的离散信号是平面坐标的抽样值。

一般模拟滤波器是因果的、线性的和时不变的。也就是说，模拟滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关(因果性);对单个或多个激励信号的响应满足线性条件(线性);内部参数不随时间而变化(时不变)。而数字滤波器则可以实现为因果的或非因果的，线性的或非线性的、时不变的或时变的。这就是数字滤波器具有灵活性、多变性和适应性的特点，它可以实现模拟滤波器所不能实现的功能。

使用方法 通信信号源常是连续时间信号，例如，语音信号和图像信号。应用数字滤波器处理此类信号时，须先对所处理的信号进行限带、抽样和模-数变换，然后进行数字滤波。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍。这是因为数字滤波器的幅频响应是以抽样率为间隔呈周期重复的特性，并且是以折叠频率(1/2抽样频率点)呈镜像对称。为了保证滤波后输出频谱不发生混叠，必须满足上述抽样率要求。为得到输出为连续时间信号，数字滤波器的输出须经数模变换和平滑滤波。

设计 数字滤波器的设计理论和设计方法已很成熟。有限冲激响应数字滤波器可以实现严格的线性相位特性，并且保证绝对稳定。无限冲激响应数字滤波器设计时，应考虑稳定性问题，其转移函数的极点必须保证位于Z平面的单位圆内。由于应用计算机辅助优化设计和仿真技术，目前，可以应用数字滤波器设计软件包，根据给定技术指标，在计算机上自动化设计，给出满足要求的设计结果。

实现和应用 随着大规模和超大规模集成电路技术的进展，数字滤波器的实时硬件实现也发展得很快。原先应用存储器和加法器实现的，现在可以用单片微处理器实现。要求处理速度较高，运算量较大的可以用单片通用高速数字信号处理器(DSP)(含有乘法器)实时实现。高速或运算量大的可以用阵列处理器实现。产量大、小型化要求高的还可以设计成专用集成电路(ASIC)实现，

由于数字滤波器具有高精度、高稳定性、高可靠性、可复用、无介入衰耗，以及可实现严格的线性相位，所以在通信工程中有非常广泛的应用。

有限冲激响应数字滤波器

有限冲激响应数字滤波器(finite impulse re¬sponse digital filter) 数字滤波器的单位冲激响应h(n)只含有有限个非零样值的一类滤波器，简记为FIR。它的一般实现为非递归型结构，故也称为非递归型数字滤波器。

有限冲击响应数字滤波器具有绝对稳定的特性，易于直接根据脉冲响应技术条件进行设计;可以在逼近任意幅度特性的同时，实现对称的脉冲响应;可以实现严格的线性相位特性。由于它具有以上诸优点，所以在数据通信和数字通信系统中，有着广泛的应用。

有限冲激响应数字滤波器的设计，主要是使转移函数H(z)在单位圆上的值H(e)逼近给定的幅度特性。常用的设计方法有:窗函数法、频率采样法和等波纹机助优化设计法等。有限冲激响应数字滤波器可用乘法累加器或通用数字信号处理器(DSP)实时实现。

无限冲激响应数字滤波器

对单位冲激的输入信号的响应为无限长序列的数字滤波器。按所处理信号的类型，可分为一维、二维或多维无限冲激响应数字滤波器。

一维无限冲激响应数字滤波器 它处理单变量信号序列。其输出序列y(n)与输入序列x(n)的关系由常系数差分方程描述:

(1)

相应的z域转移函数为

(2)

无限冲激响应数字滤波器转移函数的极点应位于z平面的单位圆内，以保证滤波器的稳定性。这类数字滤波器实现为递归型结构，故又称一维递归型数字滤波器。图1为递归型数字滤波器采取一种直接型结构的信号流图。为便于调整并降低系数灵敏度，高阶滤波器通常实现为以一阶和二阶直接型为基础的级联型或并联型。 无限冲激响应数字滤波器的设计方法主要有两类。一类是根据模拟滤波器设计理论，由模拟滤波器特性或结构导出数字滤波器转移函数或结构，较典型的有冲激响应不变法和双线性变换法。另一类是直接在z域中应用计算机辅助设计法。

冲激响应不变法 使所设计数字滤波器的单位冲激响应，等于具有给定频响特性的模拟滤波器的冲激响应的抽样值。这一方法的特点是数字信号频率和模拟信号频率之间的变换呈线性关系。但这种方法限于设计具有限带特性的数字滤波器。

双线性变换法 利用变量z与复频率变量s的双线性变换关系,将s平面的左半平面及其实频率轴映射到z平面上的单位圆内及其圆周上。这一方法的特点是s平面上的值与z平面上的值呈单值的对应关系，因此这种方法适于设计具有各种频响特性的数字滤波器，不致发生频谱混叠现象。但是，z平面的频率和s平面频率之间具有非线性关系，致使数字滤波器的频响特性与所要求的频响特性发生频率畸变,即卷绕现象。但是,一般要求滤波器通带特性为平坦的频响特性，因此，双线性变换法是一种有效的、应用较为普遍的设计方法。

上述设计方法是以设计原型归一化低通滤波器为基础，经频率变换导出所要求性能的数字滤波器。频率变换可以在s域进行，也可以在z域进行。

在z域直接用计算机辅助设计方法 应用优化方法来调整数字滤波器转移函数的系数或零极点位置，使得所设计的数字滤波器频响特性与所要求特性的误差为最小。在设计过程中需要采取措施，使得每次叠带所得到的转移函数的极点位于单位圆内，以保证滤波器的稳定性。

由于运算的有限字长效应，递归型结构有可能出现极限环振荡现象。这是由于运算字长的舍入而引入的非线性作用，使数字滤波器在零输入时有振荡输出。因此，人们正研究设计低灵敏度的、稳定的无限冲激响应数字滤波器，并已取得一定成果。

二维无限冲激响应数字滤波器 通称二维递归型数字滤波器，用以处理二维数字信号序列。二维递归型数字滤波器有因果的四分之一平面型和半平面型两种。图2为因果的四分之一平面型低通滤波器幅谱特性。图3为半平面型扇形特性的数字滤波器幅谱特性。 二维递归型数字滤波器的设计方法有频域法和空间域法两种。频域法设计主要是寻求一个满足频域给定指标要求的稳定的无限冲激响应数字滤波器转移函数。这种设计有两类方法:一是谱变换法;另一是计算机辅助优化方法。空间域法设计主要是寻求一个转移函数，使其冲激响应在有限区域内逼近给定的二维冲激响应。二维递归型数字滤波器设计的主要问题是稳定性问题。二维数字滤波器的设计理论和方法尚不完善，特别是稳定的、高阶二维递归型数字滤波器设计还有待进一步研究。

IIR滤波器的特征是其输出y(n)由当前的和过去的输入信号x(n)及过去的输出信号共同决定。

无限冲激响应数字滤波器只能实现为递归型结构，故也称为递归型数字滤波器。同一转移函数的无限冲激响应数字滤波器可以实现为不同的网络结构，如直接型、并联型、级联型等。高阶数字滤波器通常实现为以一阶和二阶基本节结构为基础的级联型或并联型结构，以降低系数灵敏度。

无限冲激响应数字滤波器的设计方法主要有两种:一种是采用映射方法将具有相应特性的模拟滤波器转换为数字滤波器;另一种是用计算机辅助优化设计实现具有特定幅度、相位特性要求的数字滤波器。无限冲激响应数字滤波器可以用单片数字信号处理器(DSP)实时实现，也可以用只读存储器和加法器组成的查表法结构实时实现。对于同样幅频特性的要求，采用无限冲激响应数字滤波器实现，所需的阶次要远小于有限冲激响应数字滤波器。这类滤波器在通信设备中，有广泛的应用。

对单位冲激的输入信号的响应为无限长序列的数字滤波器。按所处理信号的类型，可分为一维、二维或多维无限冲激响应数字滤波器。

无限冲激响应数字滤波器转移函数的极点应位于z平面的单位圆内，以保证滤波器的稳定性。这类数字滤波器实现为递归型结构，故又称一维递归型数字滤波器。图1为递归型数字滤波器采取一种直接型结构的信号流图。为便于调整并降低系数灵敏度，高阶滤波器通常实现为以一阶和二阶直接型为基础的级联型或并联型。 无限冲激响应数字滤波器的设计方法主要有两类。一类是根据模拟滤波器设计理论，由模拟滤波器特性或结构导出数字滤波器转移函数或结构，较典型的有冲激响应不变法和双线性变换法。另一类是直接在z域中应用计算机辅助设计法。

冲激响应不变法 使所设计数字滤波器的单位冲激响应，等于具有给定频响特性的模拟滤波器的冲激响应的抽样值。这一方法的特点是数字信号频率和模拟信号频率之间的变换呈线性关系。但这种方法限于设计具有限带特性的数字滤波器。

双线性变换法 利用变量z与复频率变量s的双线性变换关系,将s平面的左半平面及其实频率轴映射到z平面上的单位圆内及其圆周上。这一方法的特点是s平面上的值与z平面上的值呈单值的对应关系，因此这种方法适于设计具有各种频响特性的数字滤波器，不致发生频谱混叠现象。但是，z平面的频率和s平面频率之间具有非线性关系，致使数字滤波器的频响特性与所要求的频响特性发生频率畸变,即卷绕现象。但是,一般要求滤波器通带特性为平坦的频响特性，因此，双线性变换法是一种有效的、应用较为普遍的设计方法。

上述设计方法是以设计原型归一化低通滤波器为基础，经频率变换导出所要求性能的数字滤波器。频率变换可以在s域进行，也可以在z域进行。

在z域直接用计算机辅助设计方法 应用优化方法来调整数字滤波器转移函数的系数或零极点位置，使得所设计的数字滤波器频响特性与所要求特性的误差为最小。在设计过程中需要采取措施，使得每次叠带所得到的转移函数的极点位于单位圆内，以保证滤波器的稳定性。

由于运算的有限字长效应，递归型结构有可能出现极限环振荡现象。这是由于运算字长的舍入而引入的非线性作用，使数字滤波器在零输入时有振荡输出。因此，人们正研究设计低灵敏度的、稳定的无限冲激响应数字滤波器，并已取得一定成果。

二维无限冲激响应数字滤波器 通称二维递归型数字滤波器，用以处理二维数字信号序列。二维递归型数字滤波器有因果的四分之一平面型和半平面型两种。图2为因果的四分之一平面型低通滤波器幅谱特性。图3为半平面型扇形特性的数字滤波器幅谱特性。 二维递归型数字滤波器的设计方法有频域法和空间域法两种。频域法设计主要是寻求一个满足频域给定指标要求的稳定的无限冲激响应数字滤波器转移函数。这种设计有两类方法:一是谱变换法;另一是计算机辅助优化方法。空间域法设计主要是寻求一个转移函数，使其冲激响应在有限区域内逼近给定的二维冲激响应。二维递归型数字滤波器设计的主要问题是稳定性问题。二维数字滤波器的设计理论和方法尚不完善，特别是稳定的、高阶二维递归型数字滤波器设计还有待进一步研究。