无穷维空间非线性方程的非完全分歧理论及其应用

本项目以研究无穷维空间双参数方程非完全分歧理论为核心. 将Morse引理应用于非线性方程的局部分歧问题, 扩大刻画歧异点的种类。 尤其是研究带有扰动项的双参数方程的非完全分歧理论, 刻画扰动方程的分歧图并得到扰动方程的精确多解性。 应用单值算子广义逆，解决从非单特征值出发的双参数方程的分歧问题。并将抽象结果应用到化学反应和生态模型中。

本项目将在理论上研究变黏性的Navier-Stokes方程和几类可压复杂流体力学方程组在二维，三维空间中的全局解性态，以及薄膜边界各向异性所导致的有效边界条件。建立一些可压粘弹流体，液晶等流体模型；讨论有粘性状态下的blow-up机制；研究无粘状态下的奇性形成；讨论解对粘性系数的依赖状态，解的大时间性态并解决高维黏性依赖密度的等熵可压缩流体力学方程组的适定性问题.本项目将对可压的粘弹性流体方程组，MHD方程组等，在有粘性条件下讨论其blow-up的机制并讨论黏性依赖密度的可压Navier-Stokes方程组的适定性，而无粘条件下分析三维模型的奇性形成.并且对粘性系数依赖于密度及温度时，分别讨论其blow-up机制及奇性形成.还将研究不同薄膜区域各向异性粘性以及各向异性微观结构所引起的宏观有效边界条件。另外还探讨以上流体力学相关方程的理论与方法在图像处理，数据分析，计算机安全方面的应用。

项目执行期间，我们主要研究了流体力学相关方程(例如:Navier-Stokes 方程组, MHD方程组, 粘弹力学方程、液晶模型)解的存在性，正则性和大时间行为。有关研究成果，分别发表《Arch. Ration. Mech. Anal.》,《 J. Differential Equations》。另外，我们还研究了偏微分方程在图像处理中的应用及其信息安全方面的研究。 项目执行期间，我们召开多次研讨会，并访问其他专家。我们亦培养了多名研究生和本科生，与博士后开展合作研究。 2100433B

第1章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 非线性系统的实例 3

1.3 非线性系统运动分析研究现状 7

第2章 非线性动态系统分析的理论基础 11

2.1 微分方程及其解的定义 11

2.1.1 微分方程的分类 11

2.1.2 微分方程的解 13

2.2 柯西定理 14

2.3 幂级数解法 20

2.4 小结 25

第3章 几种非线性动态系统分析方法 26

3.1 范例 26

3.2 摄动方法 27

3.3 Adomian分解法 28

3.3.1 Adomain分解法的基本思想 28

3.3.2 Adomain分解法的基本原理 29

3.3.3 算例 31

3.4 直接积分法 32

3.4.1 直接积分法的基本思想 32

3.4.2 算例 33

3.5 小结 34

第4章 非线性动态系统状态方程迭代解法 35

4.1 引言 35

4.2 非线性系统自由运动状态方程的任意阶近似迭代解 36

4.2.1 非线性系统的线性化 36

4.2.2 广义朗之万梯度方程 38

4.2.3 非线性系统自由运动状态方程的任意阶近似解 40

4.2.4 方均包络矩阵转移方程 45

4.2.5 本节小结 48

4.3 非线性系统状态方程的任意阶近似迭代解 48

4.3.1 非线性系统受控运动状态方程的任意阶近似解 48

4.3.2 非线性系统状态方程的任意阶近似解 56

4.3.3 仿射非线性系统状态方程的任意阶近似解 63

4.3.4 本节小结 69

4.4 非线性协调控制系统状态方程的任意阶近似 迭代解 70

4.4.1 非线性协调控制系统状态方程的任意阶近似迭代解 70

4.4.2 非线性协调控制系统状态方程的任意阶近似迭代解

的收敛性 73

4.5 小结 74

第5章 非线性动态系统状态方程级数解法 75

5.1 动力学系统状态空间转移数学模型 75

5.1.1 引言 75

5.1.2 动力学系统状态空间正向及逆向转移数学模型 77

5.1.3 动力学系统状态空间正向与逆向转移互逆求解 78

5.1.4 应用实例 82

5.2 基于时态空间的非线性动力学方程级数解 85

5.2.1 引言 85

5.2.2 时态空间及非线性动力学方程 85

5.2.3 线性齐次方程的普遍解析解及非线性动力学系统分类 86

5.2.4 非线性动力学系统状态方程的任意阶近似解 89

5.2.5 任意阶近似解析解的收敛性 94

5.2.6 结论 95

5.3 非线性动力学方程的伪线性化解法 96

5.3.1 引言 96

5.3.2 时态空间、伪线性分离及齐次方程的解 96

5.3.3 非线性动力学方程的任意阶近似解 97

5.3.4 任意阶近似解的收敛性 100

5.3.5 结论 101

5.4 非线性动力学方程的最简洁普适级数解 101

5.4.1 引言 101

5.4.2 时态空间及非线性动力学方程的级数解析解 102

5.4.3 非线性动力学方程无穷级数解的收敛性 105

5.4.4 结论 106

5.5 小结 107

第6章 一般非线性动态系统分析 108

6.1 一般非线性动态系统状态方程 108

6.2 一般非线性动态系统状态方程的直接积分解法 112

6.2.1 引言 112

6.2.2 非线性控制系统状态方程的级数解析解 113

6.2.3 非线性控制系统状态方程级数解的收敛性 118

6.3 算例 119

6.4 小结 123

第7章 直接积分法在求解非线性偏微分方程中的应用 124

7.1 Schrodinger方程的近似解 124

7.2 小结 137

第8章 直接积分法在球形机器人控制系统上的应用 138

8.1 引言 138

8.2 球形机器人的研究现状 138

8.3 球形机器人动力学模型 145

8.4 球形机器人控制器的设计 147

8.5 球形机器人控制系统状态方程的级数解析解 151

8.6 小结 154

第9章 直接积分法在六自由度并联平台控制系统上的应用 156

9.1 六自由度并联平台简介 156

9.2 六自由度并联平台结构 157

9.3 六自由度并联平台的应用 159

9.4 六自由度并联平台运动学反解与运动建模 161

9.5 六自由度并联平台动力学建模 166

9.6 六自由度并联平台控制系统状态方程的级数解析解 178

9.7 小结 182

参考文献 183 2100433B