误差传播定律

测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究 。

1. 列出观测值函数的表达式

Z=f(x1,x2,...xn)

2.对函数Z进行全微分

Δz=(əf/əx1)Δx1 (əf/əx2)Δx2 ... (əf/əxn)Δxn

3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式

mz^2=(əf/əX1)^2m1^2 (əf/əX2)^2m2^2 ... (əf/əXn)^2mn^2

4.计算观测值函数中误差2100433B

人们以任一未知量直接观测值的中误差,作为衡观测值精度的标准。但在实际工作中,某些未知量不可能或不便于直接进行观测,而需要由另外一些量的直接观测值根据一定的函数关系计算出来。由于独立观测值不可避免地包含有误差,导致独立观测值的函数也必然存在误差。显然独立观测值的中误差和函数中误差必定存在某些关系,阐述这种关系的定律称为误差传播定律 。

当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数中误差结果 。

倍数函数的中误差

倍数函数：Z=KX

则有：

观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。

和(差)函数的中误差

和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2 mx2^2

两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。

当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn

Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2 mx2^2 ... mxn^2

n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。

在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2

线性函数

线性函数Z=K1X1±K2X2±...±KnXn

则有mz=±[(k1m1)^2 (k2m2)^2 ... (knmn)^2]^1/2

一般函数的中误差

一般函数：Z=f(X1,X2,...,Xn)

则有mz^2=(əf/əX1)^2m1^2 (əf/əX2)^2m2^2 ... (əf/əXn)^2mn^2

误差（errors）是实验科学术语，指测量结果偏离真值的程度。对任何一个物理量进行的测量都不可能得出一个绝对准确的数值，即使使用测量技术所能达到的最完善的方法，测出的数值也和真实值存在差异，这种测量值和真实值的差异称为误差。数值计算分为绝对误差和相对误差。也可以根据误差来源分为系统误差（又称可定误差、已定误差）、随机误差（又称机会误差、未定误差）和毛误差（又称粗差）。

测距误差可分为两类：一类是与距离远近无关的误差，即测相误差和仪器加常数误差；仪器和棱镜的对中误差以及周期误差等，它们合称为固定误差；另一类是与距离成比例的误差，即真空光速值的测定误差、频率误差和大气折射率误差，它们合称为比例误差。

比例误差固定误差分析

测相误差就是测定相位差的误差。主要包括：测相系统本身的误差；照准误差；幅相误差以及由噪音引起的误差等。仪器的加常数K是一个与所测距离无关的常数。通常是将它测定出来，预置在仪器中，对所测的距离D'自动进行改正以便得到改正后的距离D，即：D=D' K

周期误差是以一定距离为周期重复出现的误差，它的周期一般是精测波长的二分之一，但也有例外。周期误差主要是由于仪器内部电信号的串扰而产生的。

比例误差比例误差分析

由于真空光速值的测定精度已相当高，故真空光速值的测定误差的影响可以忽略不计。频率误差的产生主要有两方面的原因：一是振荡器设置的调制频率有误差，即频率的准确度问题；二是在使用过程中，由于晶体老化、温度变化、电源及电子电路的影响，振荡器的频率发生漂移，即频率的稳定度问题。大气折射率误差的来源主要是测定气温和气压的误差，这就要求所测定气温及气压应能准确地代表测线的气象条件。

根据误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类 。

误差理论系统误差

由于仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如，各种刻度尺的热胀冷缩，温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。

由于实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的考虑不周也会造成误差。例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。

由于测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在测量中造成误差。

以上都是造成系统误差的原因。系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。我们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因，采取适当措施降低它的影响。

误差理论偶然误差

在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素，会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做偶然误差。

产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测量点的位置不准确，实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、振动等因素的影响而产生微小变化等等。这些因素的影响一般是微小的，而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找出原因加以排除。

但是实验表明，大量次数的测量所得到的一系列数据的偶然误差都服从一定的统计规律，这些规律有：

a.绝对值相等的正的与负的误差出现机会相同；

b.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；

c.误差不会超出一定的范围。

实验结果还表明，在确定的测量条件下，对同一物理量进行多次测量，并且用它的算术平均值作为该物理量的测量结果，能够比较好地减少偶然误差。