椭圆方程组中的向量分析

(1)本项目考虑了与向量场散度算子和旋度算子相关的Hardy不等式。我们证明：对于在边界上的切向分量为0的向量场 的L1范数可被其散度的某个带权L1范数和旋度的L1范数所控制。我们也建立了相应的Hardy不等式的Lp估计。(2)向量场在Lorentz空间L(3/2,1) 上的估计。我们证明：对于在边界上切向分量或法向分量为0的向量场，它的Lorentz空间L(3/2,1) 范数可被其散度和旋度在有界区域上的Hardy空间的范数所控制。(3) 我们考虑了某个带有旋度算子的偏微分方程组，它来源于第II类超导体Meissner态和涡旋态的数学理论：当Ginzburg-Landau参数趋于无穷大时，Ginzburg-Landau模型的一个极限形式。我们证明解的最大值点由所给边界的切向分量的最大值点以及给定区域边界的法曲率所确定；当区域是凸的时候，我们得到了解的最大模估计；当区域是外区域的时候，我们证明了解的存在性并证明了解的指数衰减性。 本项目的研究对完善 L^1 空间上、与向量场散度和旋度算子相关的 Hardy 型不等式理论有重要作用，本项目的研究对刻画单个椭圆方程和椭圆方程组解的不同性质有重要意义。 2100433B

带有散度算子和旋度算子的不等式在电磁场的数学理论中有广泛的应用。本项目首先在三维有界区域对给定合适边界条件的向量场建立若干类 Hardy 型不等式。这些不等式在 L^1 空间和一般 L^p 空间、向量场情形和标量函数情形都会有很大的不同。随后我们将应用 L^1 空间上向量场的 Hardy 型不等式建立某一类椭圆方程组解的带权重的内部估计和边界估计。最后本项目将考察向量场 Hardy 型不等式成立时的最佳常数和余项问题，这是对带有旋度算子的奇异拟线性椭圆方程组的特征值问题的研究。. 本项目的研究对完善 L^1 空间上、与向量场散度和旋度算子相关的 Hardy 型不等式理论有重要作用，为若干与向量场相关的方程组建立解的局部估计和边界估计提供理论基础，而且也丰富带有旋度算子的奇异拟线性椭圆方程组的理论。本项目的研究对刻画单个椭圆方程和椭圆方程组解的不同性质有重要意义。

椭圆曲面就是以椭圆曲线 (亏格的Riemann面) 为一般纤维，具有这种纤维结构的复曲面 (2维紧复流形)。

这一概念正如后面所述对于向高维发展以及对纤维微分拓扑都作出了重要的贡献。而且小平先生已经指出了这一发展方向。正如椭圆函数论是19世 纪整个数学的源泉，说椭圆曲面为本世纪后半叶整个代数几何的源泉 (之 一) 也不过分。由此产生的源流通过 “弦模型理论” 等等而在理论物理学中保持着。

椭圆曲面是小平(在数学的论述部分遵循惯例，直呼其名而不加敬称) 在关于复曲面的一系列基础研究的论文集 “On compact analytic surfaces”中收录的第23部分中处理的。该论文的出版是1963年。

椭圆度的测量，根据其定义，即为圆柱面的横剖面上最大与最小直径之差。因此，基本上是属于直径法，任何测量直径的方法都可以用来测量椭圆度，即分别测出其最大和最小直径后，求出其差，即为椭圆度之值。在具体测量时，显然也可以测其波动量的方法，即在测微仪触头下，工件在平工作台旋转一周时，以其最大与最小的示值差作为其椭圆度之值。也可以用气动差动法进行测量，其旋转角度可小于90°。

除了用直径法测椭圆度外，也可以用半径法测量。如带有顶尖孔的工件，可用半径法测量（将工件顶在顶尖间进行测量），但顶尖的偏心将对工件有影响；也可以在圆度仪上进行测量，但所测得的是半径方向的差值，故其实际的椭圆度应乘以两倍 。