双曲型方程组反问题及脉冲输入法反波速问题研究

本项目原计划研究下述三个反问题：(1)较一般的二阶双曲型方程组的反问题；(2)非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题；(3)关于初值为零时通过脉冲输入法来决定波动方程中波速的反问题。关于问题(1),我们严格按照项目计划进行了研究，并且取得了良好的进展，实现了本项目计划的预期目标，相关论文已经被Applicable Analysis杂志接受并且已经在网上发表。关于问题(2), 我们按计划研究了非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题，但是遇到了很大的困难，没有能实现项目计划的预期目标。关于问题(3),我们正在按计划进行研究，预计本项目计划的预期目标能够被实现，但是相关研究还在进行中，还没有被完全完成。此外，我们还研究了下述几个与本项目相关的内容。首先我们研究了非均匀双耦合各向同性且电导率非稳态的介质中Maxwell 方程组的反系数问题，相关研究内容已经在《中国科学：数学》杂志上发表。其次，我们建立了关于二轴非各向同性介质中麦克斯伟方程组的Caleman 估计，并且打算把它应用到关于麦克斯伟方程组的同时决定本构关系中二轴电容率，磁导率张量的反问题中。另外，我们与与国外同行一起合作研究了关于在无限长管道中双曲型方程的反系数问题，取得了良好的研究结果，相关论文已经被投稿。此外，我们还研究了一阶拟线性双曲型方程的反源问题，相关研究结果已经被Journal of Mathematics and Its Applications杂志接受。

反问题是指从已知结果或关于结果的部分已知信息来反求原因的问题，它在天文、物理等许多自然科学和医学(如CT)等许多实际应用中有着重要的理论与应用研究价值。偏微分方程反问题是反问题在数学研究领域中的一个重要研究方向。本项目旨在研究：(1)较一般的二阶双曲型方程组的反问题；(2)非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题；(3)关于初值为零时通过脉冲输入法来决定波动方程中波速的反问题。具体地说，我们将研究通过在边界或边界区域上的有限次观测来决定所考察偏微分方程中未知系数函数或非齐次项的反问题，建立唯一性与条件稳定性。我们将采用基于Carleman估计的方法研究反问题(1)和(2)。关于这方面的研究理论，已有的结果主要是关于单个方程或各向同性介质中方程组的。我们的预期研究结果将极大地发展这一反问题研究理论。关于问题(3)的预期研究结果将弱化已有结果中的对于实际应用来说极为不利的一个先验性假设条件。

本项目主要研究了以可压Navier-Stokes方程为背景的非线性抛物双曲耦合方程组的可解性问题。 研究的内容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整体古典解的存在性问题；研究Cauchy问题局部解和整体古典解的存在性问题， 其中包括一维和高维在各种不同条件下的可解性问题；研究粘性系数依赖密度的可压Navier-Stokes方程的可解性问题。研究和Navier-Stokes方程相关的磁流体方程的一些问题。项目基本按照预先制定的计划有序的进行，取得一些有意义的成果； 如在有界域上证明了Navier-Stokes方程在初始小能量假设下存在整体光滑解， 对粘性系数依赖于密度的Navier-Stokes方程证明了局部古典解的存在性， 对任意初始条件的Navier-Stokes方程当粘性系数在一定范围内证明了Cauchy问题存在整体光滑解。这些成果受到国内外同行的关注。 由于拟研究问题的复杂性，该项目有一些的预定研究目标没有得到满意的结果， 如可压Navier-Stokes的第一边值问题的整体适定性问题； 粘性系数依赖于密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等问题，这些都是今后继续研究的问题。 2100433B

许多有重要物理背景的数学模型可归结为非线性抛物-双曲方程组， 如来自流体力学的可压Navier-Stokes方程、磁流体方程、向列型可压液晶流方程、浅水波方程等。 由于方程组中的强非线性、强耦合性、以及出现真空或质量集中时方程产生的退化性和奇性， 使得这类问题的整体可解性研究变得极具困难； 另一方面也使对这些问题的研究在数学上有很大的挑战性， 长期以来吸引了许多数学家的关注和兴趣。本项目拟从数学理论研究的角度出发，利用近年来逐步完善的非线性退化抛物、椭圆理论以及调和分析、几何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的抛物-双曲组的可解性问题， 如：具一般初始条件的可压Navier-Stokes方程整体强解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性系数依赖密度的可压N-S方程整体可解性问题； 研究Prandtl边界层方程的可解性问题； 研究磁流体方程以及向列型可压液晶系统的整体可解性问题。