沙堆模型

沙堆模型惊人的模拟结果恰恰是“沙崩”发生的大小与发生的次数也严格符合数学上的幂次率，如果在一个上述的双对数图上画出，“沙崩”的统计数据也都严格的落在直线上。令人惊异和赞叹的是，“沙崩”与地震的统计规律是完全一样的，这是很深刻的相似性。其实，远不止地震，从自然系统到人造的系统，一些灾难性行为包括森林火灾、生物灭绝、甚至城市交通中的塞车都呈现出了幂次律的关系，都遵守着与“沙崩”同样的规律。

在沙堆动力学背后，蕴藏着自组织临界性的思想 ：一个动力学系统会自身（不需要外部干涉、引导）会演化到临界状态，在这个状态，任何一个小的扰动，比如加一粒沙，所引起的后果是不可预测的。很可能引起一些小的沙崩，但如果恰好在适当的位置上，也学会引发特大的沙崩。如果你把这些“沙崩”比喻成地震的话，那么我们可以说，引发大地震和小地震的原因是一样的，比如说是地壳的某一次小的滑动，正如我们在沙堆上随机加上的那一粒沙一样，很偶然的原因，但产生的后果也许是一个感觉不到的地震或者是日本发生的9级的地震。这个发现对以揭示大自然如何运作的物理学家来说，是一件美妙的作品。而对于做地震预测的研究人员来说则是灾难。如果大地震和小地震都由一些很偶然的原因引起，而这些“偶然”的原因又是那么的无穷无尽，那么预测从理论上来说是不可能的。

沙堆模型模拟了一个沙堆的形成和坍塌过程 。用一个画满了正方形小格子的平面表示沙堆的所在区域，每个小格子表示沙堆中的一个局部区域，而小格子中有一个数字表示了这个局部地区的沙粒的数目。根据我们玩沙的经历，可以知道当沙堆堆到一定的高度时，会不断的坍塌。这个现象被Bak等抽象为沙堆模型中唯一的一个坍塌规则，当某个小格子的沙粒超过一个特定的坍塌数值（比如4），这个小格子中的沙粒因为过于不稳定而会发生“沙崩”，所有的沙粒都会因为坍塌而平均的流向相邻的格子中。局部的“沙崩”许会引起连锁反应，比如刚好让相邻格子的沙粒也超过了坍塌的数值发生了坍塌，然后又继续影响它周围的格子。我们可以根据某一个沙崩影响格子的多少来定义一个沙崩的大小。当你不断的向这个“沙堆”加入沙粒，取决于沙堆的状态和沙粒添加的位置，会不断的会产生“沙崩”，大的，小的不停的演化。这是一个很简单的模型，用一个普通的个人电脑就可以做出模型的模拟计算。也正因为简单，所以这个模型可以有很大的普遍性，比如说如果认为地震过程也只是地壳间的摩擦、碰撞，沙堆模型很类似于地震的发生现象。

在地震研究领域内，有一个很有名的实验现象规律叫做Gutenberg – Richter定律。这个定律描述了在某一个地区一个较长的时间段内不同大小的地震所发生的频率的规律。随着观察水平的提高，这个规律也一再被后来的科学家用更多、更新的数据重新发现。与我们经验相符的是，数据表明大地震很少，小地震很多。但超乎直觉的是，各种大小的地震，从震级为2小地震到震级为7的大地震，发生的次数与震级大小符合数学上的幂律关系，专业描述是地震的发生次数随着其大小按照幂律下降。如果将这些地震的数据点画在横轴是震级大小，纵轴是次数的双对数图上，是一条直线。这是一个很惊人的发现，因为地震大小每提高一个里氏级，其释放的能量增大约30倍。震级为2的地震与震级为7的地震释放的能量相差2千5 百万倍，但能量相差如此之大的地震，其统计数据点都奇迹般的落在了Gutenberg – Richter定律所描述的直线上，而不是别处。当然，这个定律只是现象描述，并没有涉及到地震产生的机理。大地震与小地震落在同样一条直线上是否表示这些地震，不论其大小，有着相同的机理呢？Bak和汤超1989年提出地震现象正是沙堆模型里所描述的自组织临界性的一个实例 。