时变系统分析

在工程中，应用最广的是所谓冻结系数法，这一方法的实质是在系统工作时间内，分段将时变参数“冻结”为常值，从而可分段地把系统看成为定常系统进行研究。通常，冻结参数法只对参数变化比较缓慢的时变系统才有效。对时变系统控制的一个可能的方案是，在采用估计器对参数进行在线估计的同时，采用适应控制系统实现控制。

时变系统的特点是，其输出响应的波形不仅同输入波形有关，而且也同输入信号加入的时刻有关。这一特点增加了分析和研究的复杂性。对于时变系统来说，即使系统是线性的,也只能采用时间域的描述。描述的基本形式是变系数的微分方程或差分方程。时变系统的运动分析比定常系统要复杂得多。在工程中，应用最广的是所谓冻结系数法，这一方法的实质是在系统工作时间内，分段将时变参数“冻结”为常值，从而可分段地把系统看成为定常系统进行研究。通常，冻结参数法只对参数变化比较缓慢的时变系统才有效。对时变系统控制的一个可能的方案是，在采用估计器对参数进行在线估计的同时，采用适应控制系统实现控制。

一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。

特性随时间变化的系统，又称变系数系统。火箭是时变系统的一个典型例子，在飞行中它的质量会由于燃料的消耗而随时间减少；另一个常见的例子是机械手，在运动时其各关节绕相应轴的转动惯量是以时间为自变量的一个复杂函数。

时不变系统是输出不会直接随着时间变化的系统。

如果输入信号

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。 这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统：

系统 A:

系统 B:

由于系统 A 除了x(t)与 y(t)之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统，而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。

从电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变

从方程看：系数是否随时间而变

《车辆-桥梁时变系统随机振动——理论与工程应用》是国家自然科学基金资助项目（50678150、51008250、51308470）和教育部新世纪优秀人才支持计划（NCET-10-0701）的研究成果。《车辆-桥梁时变系统随机振动——理论与工程应用》针对车辆-桥梁时变系统随机振动的复杂性，将协方差分析法、摄动法和虚拟激励法引入时变系统的随机振动研究中。

《车辆-桥梁时变系统随机振动——理论与工程应用》共分8章，第1章总结了随机振动理论的研究现状及车辆-桥梁时变系统随机振动的研究现状，对随机参数结构动力学的研究现状也做了简单回顾；第2章扼要介绍随机振动基础知识；第3、4章介绍协方差分析法在车辆-桥梁时变系统随机振动研究中的应用；第5章将随机摄动法引入车辆-桥梁时变系统随机参数结构振动的研究；第6章介绍虚拟激励法的基础知识外；第7、8章将虚拟激励法引入车辆-桥梁时变系统的随机振动研究 。

第1章 绪论 1

1.1 随机振动理论的研究现状 1

1.2 车辆-桥梁时变系统随机振动的研究现状 3

1.2.1 激励形式 3

1.2.2 研究方法 7

1.3 车辆-桥梁时变系统随机参数结构动力学的研究现状 12

参考文献 13

第2章 随机振动基础知识 17

2.1 随机变量 17

2.1.1 随机变量的定义 17

2.1.2 随机变量的分类 18

2.1.3 关于随机变量的运算 22

2.2 随机过程 27

2.2.1 随机过程的定义 27

2.2.2 随机过程的分类 29

2.2.3 随机过程的数字特征 32

2.3 线性系统的脉冲响应函数和频率响应函数 34

参考文献 39

第3章 车辆-桥梁时变系统随机振动协方差分析法 40

3.1 轨道不平顺成型滤波器 40

3.1.1 成型滤波器的参数识别 41

3.1.2 通用成型滤波器 41

3.2 轨道不平顺输入的时间滞后滤波器 44

3.2.1 Pade逼近概要 44

3.2.2 时间滞后滤波器的Pade逼近 47

3.2.3 车辆多维输入的时滞-成型滤波器 48

3.3 车辆-桥梁垂向振动简化模型 49

3.3.1 车辆振动方程 50

3.3.2 桥梁振动方程 50

3.3.3 车辆-桥梁相互作用力 51

3.3.4 车辆-桥梁垂向振动方程 51

3.4 车辆-桥梁垂向随机振动状态方程 53

3.4.1 车辆-桥梁垂向振动的状态方程 53

3.4.2 车辆-桥梁垂向振动状态方程与合成滤波器的合并 54

3.5 一致白噪声激励下时变系统方差响应的递推解法 54

3.5.1 白噪声过程的离散化定义 55

3.5.2 车辆-桥梁垂向随机振动的方差递推解法 56

3.5.3 算例 57

3.6 小结 59

参考文献 60

第4章 考虑多轮对下不平顺输入的车辆-桥梁时变系统的垂向随机振动研究 61

4.1 列车轮对下不平顺激励的大时滞累次滤波器 61

4.1.1 时滞系统的高阶Pade逼近 62

4.1.2 多维时滞非白噪声不平顺激励的模拟 63

4.1.3 一致白噪声激励下线性系统的仿真 64

4.1.4 成型-累次时滞滤波器算例 65

4.2 车辆-桥梁垂向振动方程 67

4.2.1 系统自由度 68

4.2.2 系统质量矩阵 68

4.2.3 系统刚度矩阵 69

4.2.4 系统阻尼矩阵 71

4.2.5 系统荷载分布矩阵 71

4.2.6 车辆-桥梁垂向振动的状态方程 72

4.3 车辆-桥梁时变系统方差响应的递推分析法 72

4.3.1 位移响应方差分析 73

4.3.2 加速度响应方差分析 73

4.3.3 方差递推法的起步 74

4.4 算例 75

4.4.1 随机模拟法验证 75

4.4.2 两种起步方法比较 77

4.5 小结 77

参考文献 78

第5章 车辆-桥梁时变系统随机参数结构振动分析 79

5.1 随机参数结构的瞬态响应分析方法 79

5.2 车辆-桥梁均值随机摄动法 81

5.2.1 随机动力方程 81

5.2.2 均值随机摄动法 82

5.2.3 精细积分求解格式 83

5.3 算例 84

5.4 桥梁参数变异对车辆-桥梁振动的影响 86

5.5 小结 90

参考文献 91

第6章 随机振动的虚拟激励法 92

6.1.1 基本原理 92

6.1.2 对复杂结构的降阶处理 94

6.1.3 对非正交阻尼矩阵的处理 95

6.2 结构受多点完全相干平稳激励的虚拟激励法 96

6.3 结构受均匀调制单点激励非平稳随机响应的虚拟激励法 99

6.3.1 基本原理 99

6.3.2 结构受单点均匀调制零均值演变随机激励 101

6.3.3 结构受均匀一致地面运动的加速度g的均匀调制零均值演变随机激励 102

6.4 结构受均匀调制多点完全相干激励非平稳随机响应的虚拟激励法 103

6.5 虚拟激励法的计算效率 106

6.5.1 结构受单点平稳激励的计算效率 107

6.5.2 结构受多点平稳激励的计算效率 108

6.5.3 虚拟激励法的优点 109

参考文献 110

第7章 基于虚拟激励法的车辆-桥梁时变系统的垂向随机动力研究 112

7.1 车辆-桥梁时变系统平稳随机响应 112

7.2 构造车辆-桥梁时变系统的虚拟激励 114

7.2.1 车辆运动方程 114

7.2.2 桥梁系统运动方程 116

7.2.3 车辆-桥梁(垂向模型)耦合关系的建立 116

7.2.4 构造车辆-桥梁系统的虚拟荷载 118

7.2.5 车辆-桥梁时变系统方程的求解 120

7.3 车辆-桥梁时变系统随机振动分析步骤 120

7.4 数值算例 121

7.4.1 基本资料 121

7.4.2 虚拟激励法的验证 121

7.4.3 三跨简支梁车辆-桥梁响应分析 125

7.4.4 三跨简支梁车辆-桥梁功率谱分析 127

7.4.5 三跨简支梁车辆-桥梁响应随车速变化规律 131

7.5 结论 133

参考文献 134

第8章 基于虚拟激励法的车辆-桥梁时变系统的空间随机动力研究 135

8.1 车辆-桥梁时变系统平稳随机响应 135

8.2 构造车辆-桥梁时变系统的虚拟激励 137

8.2.1 车辆运动方程 137

8.2.2 桥梁系统运动方程 143

8.2.3 车辆-桥梁(空间模型)耦合关系的建立 143

8.2.4 构造车辆-桥梁系统的虚拟荷载 146

8.2.5 车辆-桥梁时变系统方程的求解 148

8.3 车辆-桥梁时变系统随机振动分析步骤 148

8.4 数值算例 149

8.4.1 基本资料 149

8.4.2 虚拟激励法的验证 150

8.4.3 三跨简支梁车辆-桥梁响应分析 153

8.4.4 三跨简支梁车辆-桥梁功率谱分析 156

8.5 车辆速度对车辆-桥梁系统随机响应的影响 159

8.6 小结 162

参考文献 162 2100433B