三代角定理

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。

角平分线定理定理1

角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

证明：如图1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命题得证。

该命题有逆定理：

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

证明：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC(已知）

AD=AD（公共边）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）

角平分线定理定理2

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

证明：如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线

过点D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF(定理1)

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

过点A作AG⊥BC，垂足为G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命题得证。

该命题有逆定理：

如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

证明略。

角平分线定理角平分线长

由定理2和斯特瓦尔特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。

如右图3，在△ABC中，AD平分∠BAC

可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u v

由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯台沃特定理，有w²=(x²v y²u)/(u v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v

即得AD²=xy-uv=AB×AC-BD×DC

如图2，若AB，AO分别是平面a的垂线和斜线，OB是AO在平面a内的射影，∠AOB为锐角，OC是平面a内和OB不重合的任一直线，在OC上截取OD=OB，连结AD，则AB

在△AOB与△AOD中，因为OA=OA，OB=OD，AB

定理得证。

上述定理是定义“斜线和平面所成的角”这一概念的理论基础。有了上面的性质，就保证了这一概念的定义的合理性 。