若干最优控制问题的有限元方法

本课题研究若干具有重要应用背景的偏微分方程最优控制问题的有限元方法，重点研究对流占优方程最优控制、流体控制、控制或观测发生在低维流型上的最优控制、多尺度最优控制及非线性最优控制问题，研究这些最优控制问题数值方法的先验及后验误差估计、自适应有限元计算及应用等。我们主要完成了下述几方面的工作：(1)以数值天气预报为背景，研究对流占优最优控制及流体系统最优控制问题的数值计算，在对流扩散方程最优控制问题的不连续Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最优控制问题的后验误差估计和高效自适应有限元算法以及Stokes方程特征值问题等方面取得了有意义的进展。(2)以地质灾害预测的数值计算为背景，研究相关最优控制问题。我们研究了控制或观测发生在低维流型上的最优控制问题及数值计算，系统分析了此类问题的正则性，得到了最优误差估计。我们还研究了椭圆方程边界观测和点态观测的参数反演问题、反柯西问题及非线性最优控制问题，针对问题的特殊性，构造了有限元、混合元、及带有奇异解的混合格式，分析了解的正则性及先验和后验误差估计，并在此基础上构造了高效自适应有限元算法。(3)以复合材料最优设计为背景，研究最优控制问题的多尺度计算。我们研究了控制受限的小周期振动系数椭圆方程最优控制问题的多尺度渐近分析和有限元计算，首次得到最优误差估计。在此基础上我们进一步研究了复合材料设计的多尺度有限元计算，设计了新的算法，进行了误差分析，并得到了合理的数值实验结果。此外，我们还研究了小周期振动系数的椭圆方程最优控制问题的多尺度混合元计算，得到了最优误差估计。(4)针对各类最优控制问题的实际需要，我们继续研究最优控制问题及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收敛分析等，在最优控制多水平校正有限元方法方面取得突破，为进一步研究打下了良好基础。在上述研究基础上，我们出版专著一本，发表学术论文16篇，SCI收录13篇，其中4篇论文发表在SIAM Numer. Anal. 等本学科国际顶尖杂志上。有关工作得到国内外同行关注，被多篇论文引用并引起相关后续研究工作。 2100433B

本项目拟研究若干具有重要应用背景的偏微分方程最优控制问题的有限元方法。我们将重点研究边界控制、状态受限控制、对流占优方程最优控制、参数估计问题及一些非线性最优控制问题，这些问题不仅在大气污染控制、地质灾害预测、石油勘探与开采及材料设计等实际应用领域有十分广泛的应用前景，而且在偏微分方程、最优控制、有限元分析等数学理论方面也有重要的理论意义。我们将针对上述各类最优控制问题的特殊性，构造适用于不同问题的有限元、混合元、DG格式及优化算法，研究算法的误差（包括先验误差估计和各类后验误差估计），并在深入研究误差分析的基础上，进一步发展和完善偏微分方程最优控制问题有限元后验误差估计技术，发展自适应有限元算法及应用软件，提高计算效率。在理论分析和数值实验基础上，我们将努力推动这些新技术、新算法的应用，将研究结果应用于地质灾害预测、大气污染控制等实际应用问题。

混合有限元方法可同时求解位移和应力，是数值求解线弹性问题的强有力工具。相对于标准有限元方法，混合有限元方法由于在计算中涉及到更多的未知量而使计算规模增大，因此如何构造混合元离散问题可靠且有效的后验误差估计子，优化网格加密策略，实现问题的高效自适应计算具有重要的应用价值。 本项目主要研究了线弹性问题的对称型混合有限元方法及其离散问题的后验误差估计。首先我们构造了求解线弹性问题的一族对称型非协调混合有限元，这族元的应力和位移有限元空间具有很好的匹配性，在形式上关于空间维数具有一致性，可以推广到任意维问题。我们证明了混合元离散问题解的存在唯一性并给出了最优的先验误差估计。对二维、三维问题进行了数值实验，从数值上验证了所构造混合元的最优收敛性和超收敛性,并且从理论上证明了这族元的超收敛性。其次我们研究了二维和三维线弹性问题对称型协调混合元方法的后验误差估计。利用应力误差的Helmholtz正交分解，构造了自适应求解离散问题的残量型后验误差估计子，证明了估计子的可靠性和有效性。通过对不同边值问题的自适应数值计算，验证了所构造后验误差估计子的可靠性和有效性，数值计算表明我们所构造的自适应算法具有最优的收敛性。最后我们研究了对称型非协调混合元离散问题的后验误差估计。本项目现已发表SCI检索论文2篇。 需要特别指出的是我们最近几年所得到的关于线弹性问题对称型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人员的关注，被用于求解一些工程问题并取得了比较好的计算效果，接下来我们将深入研究对称型混合元方法在实际工程计算中的应用。 2100433B

以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心的自适应方法已被广泛用于有限元离散问题的数值求解中，并表现出色；可同时逼近位移与应力的混合有限元方法是数值求解线弹性问题的强有力工具。本项目主要研究线弹性问题的自适应对称型混合有限元方法。我们首先研究三维线弹性问题对称型协调有限元方法的后验误差估计。利用三维弹性序列给出应力的Helmholtz分解，据此构造残量型的后验误差估计子并证明其可靠性；利用对称型混合元和四阶问题有限元之间的关系，构造性地证明估计子的有效性。其次研究线弹性问题对称型非协调混合元方法的残量型后验误差估计。应用Helmholtz分解把应力误差分解为协调误差和非协调误差两部分，然后分别估计得到误差估计子的可靠性。最后利用所构造的后验误差估计子设计求解线弹性问题的对称型混合元自适应算法，研究拟正交性、离散Helmholtz分解、离散上界等重要性质，证明算法的收敛性和最优性。

非线性最优控制简介

解决最优控制问题最大的难点在于HJB方程的求解，只有当系统模型是低阶线性模型时，才有可能给出具有显式表达式的最优控制解。在实际系统里，乃至自然界中，几乎绝大多数系统都是非线性的系统，想得到具有显式表达式的控制量几乎不可能，这就需要借助计算机，以及选择合适的最优的数值解法，以得到最优解。一般的，最优控制问题的求解方法为数值算法。极大值原理和动态规划从理论方面研究了最优控制所应遵循的方程和条件，而最优控制的数值算法则是从计算方面来确定最优控制量的具体方法和步骤。

评价最优控制数值算法优劣的三个主要方面是算法的收敛性、计算复杂性以及数值稳定性。算法的收敛性是保证计算过程能达到正确结果的前提。算法的计算复杂性也尤其重要，这对实时控制具有特别重要的意义。一个好的算法应使计算量和存储量尽可能小，以便能由尽可能简单的计算机来实现计算。好的算法还应具有较好的数值稳定性，即计算的结果对初始数据和运算过程的误差不能过于敏感，同时具有处理病态问题的能力。典型的最优控制数值算法包括:求解由极大值原理导出的微分或差分方程的两点边值问题的各种算法，对动态规划中的贝尔曼方程进行数值求解_的算法，求解线性二次型最优控制问题的黎卡提方程的各种算法，处理控制或状态受约束问题的惩罚函数法，在控制策略的函数空间中利用搜索寻优或梯度寻优技术和牛顿一拉夫森方法等直接求解非线性系统最优控制问题的算法等。其中，针对非线性系统的开环最优控制问题和线性二次型最优控制问题展开的数值算法研究尤多。

非线性最优控制最优问题间接求解法

在间接法中，我们依靠最小值原理和其它一些必要条件得到一个两点边值问题，然后通过数值求解该问题得到相应的最优轨迹。在几种基于打靶法求解两点边值问题的方法中，多重打靶法是最引人瞩目的。而其它的一些间接数值求解法，比如伴随方程的向前一向后积分法、函数空间梯度法等，在过去的几年中应用并不十分广泛。间接法的主要优点是解的精度高，同时方法保证了求解满足最优条件。然而间接法常常会遇到比较严重的解的收敛性问题。如果在求解中，没有关于系统初始值的一个好的选取，或是没有关于约束和非约束下系统运动轨迹的先验知识，收敛过程可能需要花费很长的计算时间，甚至可能根本无法找到最优解。

非线性最优控制最优问题直接求解法

在直接法中，连续性的最优控制问题通过参数化的过程被转化为了一个有限维的优化问题。转化后的问题可以通过一些已有的比较成熟的约束优化算法进行数值求解。相对于间接法而言，直接法无需考虑最优化条件，而是直接求解问题本身。直接法不易受到收敛问题的影响，但估计的精度不如间接法。最优的必要条件不是直接满足的，而且伴随量的估计精度有时也会很差。现在比较常用的几种直接求解方法包括最优参数控制法，有限差分方法，配点法，微分包含方法和伪谱方法。在最优参数控制法中，控制量被单独参数化，同时数值积分方法被用来求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和边界条件被近似为有限差分方程组:在配点法中，状态量和控制量同时被参数化，在各个节点处，局部分段多项式被用来近似微分方程;微分包含方法只是将状态量参数化，并使用由速端曲线定义的状态变化率;在伪谱方法中，通过全局多项式将状态量和控制量同时参数化，积分方程和微分方程通过求积法被近似。配点法和伪谱方法的一个重要的特点就是伴随量的相合估计。