曲线方程

①直接法

②定义法

③相关点法

④向量

曲线：任何一根连续的线条都称为曲线，包括直线、折线、线段、圆弧等。

按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：

（1）R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的 。

（2）R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到 。

（3）说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线 。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科，为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线 。

正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。

处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 。

求曲线方程的步骤如下：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件的p（M）的集合P={M|p(M)}；

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；

（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）验证(审查)所得到的曲线方程是否保证纯粹性和完备性。

这五个步骤可简称为：建系、设点、列式、化简、验证 。

基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：

(1)a c=b c

(2)a-c=b-c

基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）

(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）

曲线方程方程的定义

含有未知数的等式叫方程。

曲线方程方程的分类

方程可分为：整式方程和分式方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

曲线方程方程的相关术语

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。

解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果

例如： 3x=5*6

3x=30

x=30/3

x=10

移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。2100433B

粒度分布曲线是土壤最基本的土性参数之一，通过数学方程预测粒度分布曲线将为工程勘察节省大量成本。Fred⁃lund建立在Fredlund和Xing土水特征曲线方程基础上的粒度分布曲线方程已被证明适用于多种土类，但其对中国黄土的有效性很少得到验证。

粒度分布曲线Fredlund粒度分布

Fredlund和Xing （1994） 土-水特征曲线方程是建立在孔径分布基础上的，假设土孔隙是一系列相互连通，随机分布的孔隙，由毛细理论可知，土在脱湿过程中，水先从大孔径孔隙排出，后从小孔径孔隙排出，则土体积含水率公式中：θ（R）是孔径小于R的孔隙都充满水时的体积含水率，R_min为最小孔径，f（R）为孔隙体积密度函数，r 为孔径。

由于孔径和吸力之间具有反比关系，即 r=C/ψ，土体积含水率公式中：C为常数，ψ为吸力，ψ_max 为对应于最小孔径的最大吸力，h为一个虚拟吸力变量。

由此而得的van Genuchten（1980）方程对应的与吸力有关的孔隙体积密度函数公式中：考虑了土水特征曲线覆盖整个吸力范围，即0~10⁶kPa。a，m， n为拟合参数，e常数。

由Fredlund和Xing（1994）土-水特征曲线方程公式中：C（ψ）为调整函数；吸力很小时等于1，吸力为 10⁶kPa 时等于0；ψ_r等于残余吸力值；θ_s等于饱和体积含水率。

土-水特征曲线能够反映土体的孔径分布特征，而粒度分布曲线反映的是土颗粒的大小，土颗粒体积与孔隙体积之和即为土体总体积，可以说土水特征曲线和粒度分布曲线呈相反发展趋势。Fredlund和Xing （1994） 在土水特征曲线方程基础上提出了粒度分布曲线预测方程公式中：P_p（d）等于小于某一粒径的颗粒所占百分比，a_gr，n_gr，m_gr为拟合参数，其意义与a，n，m在土水特征曲线上表示的物理意义相似，即都是控制曲线形状的参数。d_rgr等于与细粒含量有关的参数，d_m为最小粒径，d为粒径。

粒度分布曲线黄土粒度曲线

采用Fredlund粒度分布曲线方程对这些黄土的粒度数据进行拟合，Fredlund粒度分布曲线方程对中国黄土的粒度分布曲线拟合精度较高 （方差均小于 0.1），参数稳定且呈规律性变化，能够很好地反映中国黄土的地域性特点。

将各地区粒度分布曲线拟合参数取均值，Fredlund粒度分布曲线方程中参数agr对应Fredlund和Xing （1994） 土-水特征曲线方程中的参数a （与进气值有关，通常稍大于进气值），均反映了曲线的拐点位置。中国黄土粒度分布曲线参数a_gr从西北向东南呈下降趋势。a_gr越小，粒度分布曲线重心越偏向左，即粒径越小，级配越均匀，这和中国黄土粒径的地域性特点一致，即从西北向东南，受风力的搬运作用，分选性越好。

参数m_gr控制曲线细粒段的坡度，m_gr越小，粒度分布曲线细粒段增长越快，表明土体细粒含量越多。中国黄土粒度分布曲线参数n_gr从西北向东南表现出波动且整体下降的趋势，参数m_gr有微弱波动，但变化趋势不明显，局部也见下降的趋势。参数d_rgr被证明对粒度分布曲线的影响较小，但可以通过改变d_rgr来优化预测结果。这说明这些参数同样具有地域性特点，得到的拟合参数即可用于各个地区的粒度分布曲线预测，各个参数的物理意义不仅能够指导粒度分布曲线的预测，也对粒径分析和土的分类具有指导意义。