抛物型方程及方程组的爆破时间最优控制问题

抛物型方程及方程组的爆破时间最优控制问题在实际生活中有广泛的应用。例如可以用来描述通过施加催化剂使化学反应在最短时间内完成等现象。我们依计划得到了抛物型方程及方程组的爆破时间最优控制问题的存在性和Pontryagin最大值原理等结论。本项目的主要目标是解决抛物型方程及方程组的时间最优控制问题。为了看清问题的本质， 找到相对简单的情形时问题的解决方法，我们增加了常微分方程组爆破时间最优控制问题的研究，得到了某些常微分方程组爆破时间最优控制问题的存在性和Pontryagin最大值原理等结论。同时，我们在项目的进展中发现熄灭是比爆破更广的概念，爆破可以看作是一种特殊的熄灭现象。因此，我们在本项目中增加了熄灭时间最优控制问题的研究。由于爆破时间最优控制问题属于不适定方程最优控制问题的研究范畴，椭圆方程不适定最优控制问题的研究对抛物型方程爆破时间最优控制问题的研究有一定的指导意义， 故而我们增加了不适定椭圆方程最优控制问题的研究；此外，时间最优控制与能控性有密切的联系。我们在本项目中增加了抛物型方程能控性问题的研究。

本项目将开展抛物型偏微分方程以及方程组的最短爆破时间最优控制问题的研究。其中控制施加在区域的内部或部分边界。这些问题有着广泛的应用背景。由于爆破时间最优控制问题的目标不在系统的状态空间中，因此这类时间最优控制问题与经典的时间最优控制问题有本质的区别。迄今为止，我们尚未从文献中发现对偏微分方程及方程组的最短爆破时间最优控制问题做任何研究。这一课题的核心任务是得到抛物型偏微分方程以及方程组的最短爆破时间最优控制的存在性，描述最优控制的特征，并且通过该研究刻画出偏微分方程的最短爆破时间最优控制问题与经典的时间最优控制问题的根本区别，丰富抛物型偏微分方程及方程组的爆破理论，同时为解决爆破时间最优控制问题提供一类行之有效的方法。

许多有重要物理背景的数学模型可归结为非线性抛物-双曲方程组， 如来自流体力学的可压Navier-Stokes方程、磁流体方程、向列型可压液晶流方程、浅水波方程等。 由于方程组中的强非线性、强耦合性、以及出现真空或质量集中时方程产生的退化性和奇性， 使得这类问题的整体可解性研究变得极具困难； 另一方面也使对这些问题的研究在数学上有很大的挑战性， 长期以来吸引了许多数学家的关注和兴趣。本项目拟从数学理论研究的角度出发，利用近年来逐步完善的非线性退化抛物、椭圆理论以及调和分析、几何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的抛物-双曲组的可解性问题， 如：具一般初始条件的可压Navier-Stokes方程整体强解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性系数依赖密度的可压N-S方程整体可解性问题； 研究Prandtl边界层方程的可解性问题； 研究磁流体方程以及向列型可压液晶系统的整体可解性问题。

本项目主要研究了以可压Navier-Stokes方程为背景的非线性抛物双曲耦合方程组的可解性问题。 研究的内容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整体古典解的存在性问题；研究Cauchy问题局部解和整体古典解的存在性问题， 其中包括一维和高维在各种不同条件下的可解性问题；研究粘性系数依赖密度的可压Navier-Stokes方程的可解性问题。研究和Navier-Stokes方程相关的磁流体方程的一些问题。项目基本按照预先制定的计划有序的进行，取得一些有意义的成果； 如在有界域上证明了Navier-Stokes方程在初始小能量假设下存在整体光滑解， 对粘性系数依赖于密度的Navier-Stokes方程证明了局部古典解的存在性， 对任意初始条件的Navier-Stokes方程当粘性系数在一定范围内证明了Cauchy问题存在整体光滑解。这些成果受到国内外同行的关注。 由于拟研究问题的复杂性，该项目有一些的预定研究目标没有得到满意的结果， 如可压Navier-Stokes的第一边值问题的整体适定性问题； 粘性系数依赖于密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等问题，这些都是今后继续研究的问题。 2100433B

本项目原计划研究下述三个反问题：(1)较一般的二阶双曲型方程组的反问题；(2)非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题；(3)关于初值为零时通过脉冲输入法来决定波动方程中波速的反问题。关于问题(1),我们严格按照项目计划进行了研究，并且取得了良好的进展，实现了本项目计划的预期目标，相关论文已经被Applicable Analysis杂志接受并且已经在网上发表。关于问题(2), 我们按计划研究了非各向同性介质中动态弹性力学方程组的反问题，但是遇到了很大的困难，没有能实现项目计划的预期目标。关于问题(3),我们正在按计划进行研究，预计本项目计划的预期目标能够被实现，但是相关研究还在进行中，还没有被完全完成。此外，我们还研究了下述几个与本项目相关的内容。首先我们研究了非均匀双耦合各向同性且电导率非稳态的介质中Maxwell 方程组的反系数问题，相关研究内容已经在《中国科学：数学》杂志上发表。其次，我们建立了关于二轴非各向同性介质中麦克斯伟方程组的Caleman 估计，并且打算把它应用到关于麦克斯伟方程组的同时决定本构关系中二轴电容率，磁导率张量的反问题中。另外，我们与与国外同行一起合作研究了关于在无限长管道中双曲型方程的反系数问题，取得了良好的研究结果，相关论文已经被投稿。此外，我们还研究了一阶拟线性双曲型方程的反源问题，相关研究结果已经被Journal of Mathematics and Its Applications杂志接受。