面向CAD/CAM的类B样条模型关键问题研究项目摘要

互用性是当今CAD领域面临的十大挑战之一，应对挑战的出路是建立新的几何数学模型。在兼有自由曲面模型与经典解析模型的产品设计与制造行业，CAD/CAM系统应选择能提供二者统一表示的几何数学模型，避免容错转换。类B样条模型具有这种潜力。.本项目研究类B样条模型的统一数学表示及其在计算机中的高效实现方法，拟完成四项任务：1）寻求B样条及不同空间类B样条的本质共性，建立统一的几何数学模型，避免CAD/CAM应用中不同类型间的容错转换；2）引入具有强几何意义的参数，创造新的统一类B样条形状控制方法；3）研究统一类B样条模型高效的求值、细分方法，使它的优势理论真正在应用中发挥作用；4）在统一类B样条及细分环境下给出经典解析模型的精确定义，使经典解析模型能在不同系统间直接应用。.本项目提供新几何数学模型- - 统一类B样条模型的理论依据和实现方法，研究成果在CAD/CAM领域具有广泛的应用前景。

本项目研究了类B 样条模型的统一数学表示及其在计算机中的高效实现方法，按计划完成了以下研究工作：1）建立B 样条及不同空间类B 样条的统一的几何数学模型，避免CAD/CAM应用中不同类型间的容错转换；2）引入具有强几何意义的频率参数，建立了新的统一类B 样条形状控制方法；3）研究了统一类B 样条模型高效的求值以及以该样条为背景的曲线曲面细分造型方法；4）在统一类B 样条及细分环境下给出经典解析模型的精确定义，使经典解析模型能在不同系统间直接应用。此外，还在这些研究工作基础上进一步研究结合圆弧样条的G2刀轨路径设计算法、CAM中常用的倒角算法、基于该样条的曲线曲面混合、体网格细分方法及体数据建模方法等。已发表论文10篇，另有3篇已投稿，培养硕士研究生2名（在读），共参加国际国内学术会议5次，作分组报告5次。 2100433B

用样条构造复杂几何模型是当今CAD发展面临的一大挑战。应对挑战的出路是建立新的几何数学模型，点集B样条应运而生。点集B样条具有能在任意点集上定义，与点集三角化无关，亦无需添加辅助节点等优点，它还包含一元B样条为特殊情况。因此，点集B样条能克服张量积B样条和以往非张量积样条的缺点，其构造复杂曲面的潜力是突出的。本项目首先深入研究基于Delaunay结构的单形样条空间的逼近性质并提出有效算法。其次，总结已有样条的构造经验，提出新的点集B样条空间。该空间要可以在任意点集上定义，其中包括重节点和均匀节点的情况，基函数要具有权性与线性无关性等基本性质。再次，要设计点集B样条的高效求值、求导、求积等应用算法，发挥其可以在任意点集上构造曲面的特点，建立富有特色的理论体系。最后，将点集B样条理论初步用于解决地球科学中的重力场重构问题，推动学科间的交叉合作，使点集B样条在CAD、地球科学等领域中发挥作用。

构造适合复杂几何造型的几何模型是当今样条理论发展急需解决的问题之一。本项目深入研究了基于Delaunay结构的单形样条（DCB样条）的性质，首次提出了DCB样条在球面参数域上的推广，设计了球面域上定义的样条函数节点子集的高效计算方法与自适应的节点插入方法；推广了DCB样条的构造，克服了DCB样条控制顶点几何意义不明确的缺点，设计了两种几何直观性强的点集B样条曲面构造方法，并提出有效的计算方法。一是从三角网格出发构造连续的有理样条曲面的方法，得到的曲面以输入的三角网格为控制网格，其形状与控制网格相近，且可通过直接调整控制顶点位置来修改；二是从点集上直接定义样条函数，通过增加适当的辅助控制顶点，使得到的点集B样条曲面的控制网格具有三角网格的拓扑结构。深入研究了新的点集B样条的理论及算法，将其应用于解决三维离散数据的拟合等问题。在数据拟合的应用中，优化了点集B样条的节点集合的选取方法，使得样条空间的构造依据拟合数据的潜在信息，如几何特征、拟合误差等来构造，从而使得点集B样条曲面在构造几何特征等方面比DCB样条具有优势。深入研究了点集B样条节点设置的变分方法理论，将其思想推广到二维、三维空间及一般流形曲面上，用于高质量的网格生成、分片函数逼近等问题。 2100433B

本项目研究变次数B样条的性质及其在CAD中的应用. 与B样条相比, 变次数B样条的优点突出, 困难也突出. 优点是: 在保持B样条的优点的条件下, 不用高次多项式表示低次多项式, 可以减少冗余数据, 节省计算量. 困难是这类基不能用现有方法构造. 因此其研究过程是新方法的创造过程, 是原创性研究经验的积累过程. 本项目旨在创造新方法,克服困难, 为变次数B样条建立一套与B样条理论相类似的理论框架, 使其成为CAD系统中造型的新标准. 首先, 从基的构造入手, 要为其构造一组具有权性、全正性、局部支撑性的B基, 并深入发掘这组基的重要性质. 接着, 研究以这组B基表示的变次数B样条曲线曲面的构造方法以及CAD系统所期盼的重要几何性质, 为其在CAD系统中的应用提供理论基础. 最后, 研究变次数T样条的构造方法, 并编制变次数B样条(T样条)一系列重要算法,将其纳入CAD造型软件. 2100433B