模态叠加法基本原理

模态叠加法无阻尼体系

下面首先通过简支梁的弯曲振动，说明用振型叠加法求解无阻尼分布参数体系动力反应的原理和做法。

分布参数梁的运动方程为：

将上式的每一项都乘上

由正交条件

将

记

模态叠加法有阻尼体系

对于分布参数的有阻尼体系，其运动方程为：

将

将上式的每一项都乘上

显然，在一般情况下，上式中的阻尼项相互耦联，因此需要联立方程组求解。但是，如果假定为经典阻尼，则运动方程中的阻尼项解耦，可以直接将运动方程改写为：

可见，体系的总反应等于各个振型贡献的叠加。与离散多自由度体系相同，对于大多数类型的荷载，分布参数体系各个振型所起的作用一般是频率最低的振型最大，高振型则趋向减小。因而在叠加过程中通常不需要包含所有的高振型，当动力反应达到精度要求时，即可舍弃级数的其余各项，从而大大减少了计算工作量。此外，对于复杂结构，其高阶振型的数学建模的可靠性相对较小，在动力反应分析时限定要考虑的振型数也是很必要的。 2100433B

模态叠加法又称“振型叠加法”，它是 以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得模态位移，进而通过叠加各阶模态的贡献求得系统的响应。

实用中，这种方法一般是保留少数振型叠加的截断形式出现，因此就产生了两种不同的方法：模态位移法和模态加速度法。

归一化主要是为了简化计算，常用的方式就是将每个自由度的主振型第一个元素变为1。模态质量应该是前乘振型矩阵的转置，后乘振型矩阵得到的对角质量矩阵，还有一种归一化方法就是将这个对角质量阵变成单位阵。

模态质量有意义，反映了体系中有多少质量对这阶模态振型有大的影响，每一阶是不同的。归一化振型就是计算的振型（计算位移值）除以最大的值，变成最大值为1，反映体系各处相对变形。广义质量矩阵不是模态质量。模态质量计算还涉及到振型和振型参与系数。

从计算模态的角度来讲，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分别对应一阶模态频率和模态向量（当然也可能存在重根）。模态振型，也称为模态向量，模态振型向量，模态位移向量。模态振型是结构节点或测点的函数，如有限元模型节点数（注意不是模态中的节点）上万，甚至上百万，那么，模态振型就是这些节点的函数。而在试验模态中，由于测点数量远小于有限元模型的节点数，通常测点数从数个到数百个，因此，试验模态振型就是这些测点的位置函数。由于结构有无限多阶模态，因此，每一阶模态振型都不相同，也就是模态振型除了是结构位置的函数之外，还是模态阶数的函数。对计算模态而言，由于节点数成千上万，因此，对于描述每一阶模态振型来说，这些节点数量总是足够的。但对于试验模态而言，为了合理地描述模态振型，要求测量自由度必须足够，不然不能唯一地描述所关心的模态振型，还可能存在空间上的混叠。

模态振型，通俗地讲是每阶模态振动的形态。但从数学上讲，模态振型是模态空间的“基”向量。在线性代数中，基向量是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。在模态空间，这个基向量的个数就是模态的阶数。

模态阵的列向量是刚度阵的逆阵乘以质量阵这个矩阵的特征向量，在没有阻尼的情况下刚度阵的逆阵乘以质量阵这个矩阵的特征值是系统的图有频率，从小到大分别是一阶固有频率，二阶固有频率，以此类推，其对应的特征向量就是系统的一阶模态，二阶模态。如果用模态阵的转置乘以刚度阵在乘以模态阵可以得到一个对角阵。