模态刚度

模态阵的列向量是刚度阵的逆阵乘以质量阵这个矩阵的特征向量，在没有阻尼的情况下刚度阵的逆阵乘以质量阵这个矩阵的特征值是系统的图有频率，从小到大分别是一阶固有频率，二阶固有频率，以此类推，其对应的特征向量就是系统的一阶模态，二阶模态。如果用模态阵的转置乘以刚度阵在乘以模态阵可以得到一个对角阵。

这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试 验分析过程称为模态刚度分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则 称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获 得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模 态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在 某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在 外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设 备的故障诊断的重要方法。 机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动千姿百态、瞬息 变化。模态刚度分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。首先，将结构物 在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与胯动响应并进行双通道快速傅里 叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。用模态刚度分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立 起结构物的模态模型。 2100433B

四个基本过程：

1、动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数分析 1）激励方法。试验模态分析是人为地对结构物施加一定动态激励，采集各 点的振动响应信号及激振力信号，根据力及响应信号，用各种参数识别方法获取 模态参数。激励方法不同，相应识别方法也不同。主要由单输入单输出 （SISO）、单输入多输出（SIMO）多输入多输出（MIMO）三种方法。以输入力的 信号特征还可分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随机（包括白噪声、宽带噪声 或伪随机）、瞬态激励（包括随机脉冲激励）等。 2）数据采集。SISO 方法要求同时高速采集输入与输出两个点的信号，用不 断移动激励点位置或响应点位置的办法取得振形数据。SIMO 及MIMO 的方法则要 求大量通道数据的高速并行采集，因此要求大量的振动测量传感器或激振器，试 验成本较高。 3）时域或频域信号处理。例如谱分析、传递函数估计、脉冲响应测量以及 滤波、相关分析等。

2、建立结构数学模型 根据已知条件，建立一种描述结构状态及特性的模 型，作为计算及识别参数依据。一般假定系统为线性的。由于采用的识别方 法不同，也分为频域建模和时域建模。根据阻尼特性及频率耦合程度分为实模态 或复模态模型等。

3、参数识别 按识别域的不同可分为频域法、时域法和混合域法，后者是 指在时域识别复特征值，再回到频域中识别振型，激励方式不同（SISO、SIMO、 MIMO），相应的参数识别方法也不尽相同。并非越复杂的方法识别的结果越可靠。 对于能够进行的大多数不是十分复杂的结构，只要取得了可靠的频响数据， 即使用较简单的识别方法也可能获得良好的模态参数；反之，即使用最复杂的数 学模型、最高级的拟合方法，如果频响测量数据不可靠，则识别的结果一定不会 理想。

4、振形动画 参数识别的结果得到了结构的模态参数模型，即一组固有频 率、模态阻尼以及相应各阶模态的振形。由于结构复杂，由许多自由度组成的振 形也相当复杂，必须采用动画的方法，将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。 以上四个步骤是模态试验及分析的主要过程。而支持这个过程的除了激振拾 振装置、双通道FFT 分析仪、台式或便携式计算机等硬件外，还要有一个完善的 模态分析软件包。通用的模态分析软件包必须适合各种结构物的几何物征，设置 多种坐标系，划分多个子结构，具有多种拟合方法，并能将结构的模态振动在屏 幕上三维实时动画显示。

刚度增大导致共振频率的增大，并且降低FRF在低频段的幅值。增加阻尼会使共振频率略微减小，但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值，同时使相位的改变较为平缓。如果阻尼为零，在共振点振动振幅将趋于无穷大，相位会突变180。增大质量会降低共振频率，同时也降低FRF在高频段的幅值。

归一化主要是为了简化计算，常用的方式就是将每个自由度的主振型第一个元素变为1。模态质量应该是前乘振型矩阵的转置，后乘振型矩阵得到的对角质量矩阵，还有一种归一化方法就是将这个对角质量阵变成单位阵。

模态质量有意义，反映了体系中有多少质量对这阶模态振型有大的影响，每一阶是不同的。归一化振型就是计算的振型（计算位移值）除以最大的值，变成最大值为1，反映体系各处相对变形。广义质量矩阵不是模态质量。模态质量计算还涉及到振型和振型参与系数。

从计算模态的角度来讲，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分别对应一阶模态频率和模态向量（当然也可能存在重根）。模态振型，也称为模态向量，模态振型向量，模态位移向量。模态振型是结构节点或测点的函数，如有限元模型节点数（注意不是模态中的节点）上万，甚至上百万，那么，模态振型就是这些节点的函数。而在试验模态中，由于测点数量远小于有限元模型的节点数，通常测点数从数个到数百个，因此，试验模态振型就是这些测点的位置函数。由于结构有无限多阶模态，因此，每一阶模态振型都不相同，也就是模态振型除了是结构位置的函数之外，还是模态阶数的函数。对计算模态而言，由于节点数成千上万，因此，对于描述每一阶模态振型来说，这些节点数量总是足够的。但对于试验模态而言，为了合理地描述模态振型，要求测量自由度必须足够，不然不能唯一地描述所关心的模态振型，还可能存在空间上的混叠。

模态振型，通俗地讲是每阶模态振动的形态。但从数学上讲，模态振型是模态空间的“基”向量。在线性代数中，基向量是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。在模态空间，这个基向量的个数就是模态的阶数。

瑞典Volv850GLT型汽车发动机振动特性分析

STRAN的主要动力学分析功能如:特证模态分析、 直接复特征值分析、 直接瞬态响 应分析、 模态瞬态响应分析、 响应谱分析、 模态复特征值分析、 直接频率响应分析、模态频率响应分析、 非线性瞬态分析、 模态综合、 动力灵敏度分析等可简述如下：

(1). 正则模态分析

用于求解结构的自然频率和相应的振动模态,计算广义质量, 正则化模态节点位移,约束力和 正则化的单元力及应力, 并可同时考虑刚体模态。 具体包括:

a). 线性模态分析又称实特征值分析。 实特征值缩减法包括: Lanczos法、 增强逆迭代法、 Givens法、 改进 Givens法、 Householder法、 并可进行Givens和改进Givens法自动选择、带Sturm 序列检查的逆迭代法, 所有的特征值解法均适用于无约束模型。

b). 考虑拉伸刚化效应的非线性特征模态分析, 或称预应力状态下的模态分析。

(2). 复特征值分析

复特征值分析主要用于求解具有阻尼效应的结构特征值和振型, 分析过程与实特征值分析 类似。 此外NASTRAN的复特征值计算还可考虑阻尼、 质量及刚度矩阵的非对称性。 复特征值抽 取方法包括直接复特征值抽取和模态复特征值抽取两种:

a). 直接复特征值分析

通过复特征值抽取可求得含有粘性阻尼和结构阻尼的结构自然频率和模态,给出正则化的 复特征矢量和节点的约束力, 及复单元内力和单元应力。主要算法包括elerminated法、Hossen-bery法、 新Hossenbery、 逆迭代法、 复Lanczos法,适用于集中质量和分布质量、 对称与反对称结构,并可利用DMAP工具检查与测试分析的相关性。

STRAN V70.5版中Lanczos算法在特征向量正交化速度上得到了进一步提高, 尤其是在求解百个以上的特征值时, 速度较以往提高了30%。

b). 模态复特征值分析

此分析与直接复特征值分析有相同的功能。 本分析先忽略阻尼进行实特征值分析, 得到模态 向量。 然后采用广义模态坐标,求出广义质量矩阵和广义刚度矩阵, 再计算出广义阻尼矩阵, 形成 模态坐标下的结构控制方程, 求出复特征值。 模态复特征值分析得到输出类型与用直接复特征值 分析的得到输出类型相同。

(3). 瞬态响应分析(时间-历程分析)

瞬态响应分析在时域内计算结构在随时间变化的载荷作用下的动力响应， 分为 直接瞬态响 应分析和模态瞬态响应分析。 两种方法均可考虑刚体位移作用。

(a). 直接瞬态响应分析

该分析给出一个结构对随时间变化的载荷的响应。 结构可以同时具有粘性阻尼和结构阻尼。 该分析在节点自由度上直接形成耦合的微分方程并对这些方程进行数值积分,直接瞬态响应分 析求出随时间变化的位移、 速度、 加速度和约束力以及单元应力。

(b). 模态瞬态响应分析

在此分析中, 直接瞬态响应问题用上面所述的模态分析进行相同的变换, 对问题的规模进行 压缩。 再对压缩了的方程进行数值积分从而得出与用直接瞬态响应分析类型相同的输出结果。

(4). 随机振动分析

该分析考虑结构在某种统计规律分布的载荷作用下的随机响应。对于例如地震波,海洋波,飞 机或超过层建筑物的气压波动, 以及火箭和喷气发动机的噪音激励, 通常人们只能得到按概率分 布的函数, 如功率谱密度(PSD)函数, 激励的大小在任何时刻都不能明确给出, 在这种载荷作用下 结构的响应就需要用随机振动分析来计算结构的响应。STRAN中的PSD可输入自身或交叉谱密度, 分别表示单个或多个时间历程的交叉作用的频谱特性。计算出响应功率谱密度、自相关 函数及响应的RMS值等。 计算过程中, STRAN不仅可以象其它有限元分析那样利用已知 谱, 而且还可自行生成用户所需的谱。

(5). 响应谱分析

响应谱分析(有时称为冲击谱分析)提供了一个有别于瞬态响应的分析功能,在分析中结构的 激励用各个小的分量来表示, 结构对于这些分量的响应则是这个结构每个模态的最大响应的组合。

(6). 频率响应分析

频率响应分析主要用于计算结构在周期振荡载荷作用下对每一个计算频率的动响应。计算结 果分实部和虚部两部分。 实部代表响应的幅度, 虚部代表响应的相角。

(a).直接频率响应分析

直接频率响应通过求解整个模型的阻尼耦合方程, 得出各频率对于外载荷的响应。 该类分析 在频域中主要求解二类问题。 第一类问题是求结构在一个稳定的周期性正弦外力谱的作用下的 响应。 结构可以具有粘性阻尼和结构阻尼, 分析得到复位移、 速度、 加速度、 约束力、 单元力和单元应力。 这些量可以进行正则化以获得传递函数。

第二类问题是求解结构在一个稳态随机载荷作用下的响应。 此载荷由它的互功率谱密度所 定义。 而结构载荷由上面所提到的传递函数来表征。 分析得出位移。加速度。 约束力或单元应力的自相关系数。 该分析也对自功率谱进行积分而获得响应的均方根值。

(b) 模态频率响应

模态频率响应分析和随机响应分析在频域中解决的二类问题与直接频率响应分析解决相同 的问题。 结构矩阵用忽咯阻尼的实特征值分析进行了压缩, 然后用模态坐标建立广义刚度和质量 矩阵。 该分析的输出类型与直接频率响应分析得到的输出类型相同。

STRAN V70.5版中增加了模态扩张法(残余矢量法)来估算高阶模态的作用,以确保参加计算的频率数足以使模态法的响应分析的计算精度显著提高。同时在V70.5版中还采用了新的矩阵乘法运算方法, 使模态法的频率响应分析计算速度比以往提高50%。

(7).声学分析

STRAN中提供了完全的流体-结构耦合分析功能。 这一理论主要应用在声学及噪音 控制领域, 例如车辆或飞机客舱的内噪音的预测分析。 进一步内容见后"流-固耦合分析"一节中 的相关部分。

4.非线性分析

正如我们所知,很多结构响应与所受的外载荷并不成比例。 由于材料的非线性,这时结构可能 会产生大的位移。 大转动或两个甚至更多的零件在载荷作用下时而接触时而分离。 要想更精确地 仿真实际问题,就必须考虑材料和几何、边界和单元等非线性因素。 STRAN强大的非线性分析功能为设计人员有效地设计产品、减少额外投资提供了一个十分有用的工具。

以往基于线性的结构分析因过于保守而不能赢得当今国际市场的激烈竞争。很多材料在达 到初始屈服极限时往往还有很大潜力可挖,通过非线性分析工程师可充分利用材料的塑性和韧性。 薄壳结构或橡胶一类超弹性体零件在小变形时受到小阻力,当变形增加时阻力也会随之增大, 所有这些如果用线性分析就不能得到有效的结果。 类似地, 非线性分析还可解决蠕变问题,这点对于高聚合塑性和高温环境下的结构件尤为有用。 接触分析也是非线性分析一个很重要的应用方面, 如轮胎与道路的接触、 齿轮、 垫片或衬套等都要用到接触分析。

⑴. 几何非线性分析

几何非线性分析研究结构在载荷作用下几何模型发生改变、如何改变、几何改变的大小。所 有这些均取决于结构受载时的刚性或柔性。 非稳定段过度、回弹, 后屈曲分析的研究都属于几何 非线性的应用。

在几何非线性分析中, 应变位移关系是非线性的,这意味着结构本身会产生大位移或大的转 动, 而单元中的应变却可大可小。 应力应变关系或是线性或是非线性。

对于极短时间内的高度 非线性瞬态问题包括弹塑性材料。大应变及显式积分等MSC.DYTRAN 可以进一步对STRAN进行补充。 在几何非线性中可包含: 大变形、 旋转、 温度载荷、 动态或定常载荷、拉伸刚化效应等。

STRAN可以确定屈曲和后屈曲属性。 对于屈曲问题, STRAN可同时考虑 材料及几何非线性。 非线性屈曲分析可比线性屈曲分析更准确地判断出屈曲临界载荷。对于后屈 曲问题STRAN提供三种Arc-Length方法(Crisfield法, Riks法和改进Riks法)的自适应混合 使用可大大提高分析效率。

此外在众多的应用里, 结构模态分析同时考虑几何刚化和材料非线性也是非常重要的。这一 功能MSCNASTRAN称之为非线性正则模态分析。

(2). 材料非线性分析

当材料的应力和应变关系是非线性时要用到这类分析。 包括非线性弹性(含分段线弹性 )、 超 弹性、 热弹性、 弹塑性、 塑性、 粘弹/塑率相关塑性及蠕变材料,适用于各类各向同性、各向异性、具有不同拉压特性(如绳索)及与温度相关的材料等。 对于弹/塑性材料既可用Von Mises也可用Tresca屈服准则; 土壤或岩石一类材料可用Mohr Coulomb或Drucker-Prager屈服准则; Mooney-Rivlin超弹性材料模型适用于超弹性分析,在STRAN可定义5阶、25个材料常数并可通过应力应变 曲线自动拟合出所需的材料常数等屈服准则;对于蠕变分析可利用ORNL定律或Rheological进行模拟,并同时考虑温度影响。任何屈服准则均包括各向同性硬化。运动硬化或两者兼有的硬化规律。

(3). 非线性边界(接触问题)

平时我们经常遇到一些接触问题, 如齿轮传动、 冲压成形、 橡胶减振器、 紧配合装配等。 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 由接触产生的力同样具有非线性属性。对这些非线性接触力, STRAN提供了两种方法: 一是三维间隙单元(GAP), 支持开放，封闭或带摩擦的边界条件; 二是三维滑移线接触单元， 支持接触分离，摩擦及滑移边界条件。 另外, 在STRAN的新版本中还将增加全三维接触单元。

（4）.非线性瞬态分析

非线性瞬态分析可用于分析以下三种类型的非线性结构的非线性瞬态行为。

考虑结构的材料非线性行为:塑性,Von Mises屈服准则, Tresca屈服准则, Mohr-Coulomb屈服准则, 运动硬化, Drucker-Prager 屈服准则,各项同性硬化(isotropic hardening ),大应变的超弹性材料, 小应变的非线性弹性材料, 热弹性材料(Thermo-elasticity ), 粘塑性(蠕变) ,粘塑性与塑性合并。

几何非线性行为:大位移,超弹性材料的大应变, 追随力。

包括边界条件的非线性行为:结构与结构的接触(三维滑移线),缝隙的开与闭合, 考虑与不考虑摩擦,强迫位移。

(5). 非线性单元

除几何、材料、边界非线性外, STRAN还提供了具有非线性属性的各类分析单元 如非线性阻尼、弹簧、接触单元等。 非线性弹簧单元允许用户直接定义载荷位移的非线性关系。

非线性分析作为STRAN的主要强项之一, 提供了丰富的迭代和运算控制方法, 如 Newton－Rampson法、改进Newton法、Arc-Length法、Newton和ArcLength混合法、两点积分 法、Newmark β法及非线性瞬态分析过程的自动时间步调整功能等,与尺寸无关的判别准则可 自动调整非平衡力、位移和能量增量, 智能系统可自动完成全刚度矩阵更新, 或Quasi-Newton更 新, 或线搜索, 或二分载荷增量(依迭代方法)可使CPU最小,用于不同目的的数据恢复和求解。 自 动重启动功能可在任何一点重启动,包括稳定区和非稳定区。