流体力学相关方程的理论及其应用

项目执行期间，我们主要研究了流体力学相关方程(例如:Navier-Stokes 方程组, MHD方程组, 粘弹力学方程、液晶模型)解的存在性，正则性和大时间行为。有关研究成果，分别发表《Arch. Ration. Mech. Anal.》,《 J. Differential Equations》。另外，我们还研究了偏微分方程在图像处理中的应用及其信息安全方面的研究。 项目执行期间，我们召开多次研讨会，并访问其他专家。我们亦培养了多名研究生和本科生，与博士后开展合作研究。 2100433B

本项目将在理论上研究变黏性的Navier-Stokes方程和几类可压复杂流体力学方程组在二维，三维空间中的全局解性态，以及薄膜边界各向异性所导致的有效边界条件。建立一些可压粘弹流体，液晶等流体模型；讨论有粘性状态下的blow-up机制；研究无粘状态下的奇性形成；讨论解对粘性系数的依赖状态，解的大时间性态并解决高维黏性依赖密度的等熵可压缩流体力学方程组的适定性问题.本项目将对可压的粘弹性流体方程组，MHD方程组等，在有粘性条件下讨论其blow-up的机制并讨论黏性依赖密度的可压Navier-Stokes方程组的适定性，而无粘条件下分析三维模型的奇性形成.并且对粘性系数依赖于密度及温度时，分别讨论其blow-up机制及奇性形成.还将研究不同薄膜区域各向异性粘性以及各向异性微观结构所引起的宏观有效边界条件。另外还探讨以上流体力学相关方程的理论与方法在图像处理，数据分析，计算机安全方面的应用。

《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》内容简介：这本经典教科书《流体力学及其工程应用》（原书第10版），继承并发扬了讲述流体力学物理现象的传统，并以最简单而且尽可能是最清晰，但又不使用复杂数学工具的方式来应用各项基本原理。对工科大学生而言，最重要的事情是把所探讨的物理现象非常清晰地予以形象化。因此，《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》大力强调流体力学的物理现象，一直贯穿于全书。在《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》中，着重讲述流体力学的基本原理、基本假设以及在其应用方面的条件，然后演示怎样应用这些基本原理来解决实际的工程问题。《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》文稿中有范例，节后有操练题，章后有习题。并列举了大量的BG制、SI制的例题和习题，使学生熟悉两种单位制的转换。书中的操练题和习题总数已达到了1354题。这本受到高度尊重的教科书虽然一直在大规模地修订，但仍然保持了其传统的方法，即通过求解工程问题来讲授基本概念。在《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》中，所有专题的内容都讲解得更加清楚而且更加集成化了。《流体力学及其工程应用(翻译版原书第10版)》还选编了许多挑战性的习题，可以选用计算机及可编程的计算器来求解。有些新选的习题可以使用Excel、Mathcad以及HP-48G求解。

关于不可压缩Navier-Stokes方程，可压缩Navier-Stokes方程，Euler方程及其相关方程组整体解的存在性和不存在性，光滑解的爆破机制以及解的奇性机构等一直是流体力学数学理论和非线性偏微分方程的核心课题。其中关于三维不可压缩Navier-Stokes方程组整体光滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函数，局部光滑解是否在有限时间内爆破是Clay研究所公布的七大千禧年问题之一。这个问题的研究不仅具有深刻的数学意义，同时也具有强烈的应用背景。另外，非线性守恒律方程(组)，可压缩Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理论中起着基本的作用,该类方程的最重要的特征之一就是波的传播速度依赖于波本身, 从而导致了巨大的复杂性以及产生了多种奇性结构的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及边界层等，对这些现象的深入研究不但与力学和航空等许多领域有密切的联系,而且对现在的数学理论也是挑战。