流体力学及相关问题的数学理论结题摘要

我们首先引入一类全新的Besov-Sobolev型的函数空间，并证明了3维各向异性Navier-Stokes方程在此空间取小初值时的整体适定性，特别地，该结果证明了3维各向异性Navier-Stokes方程具有高频震荡初值的整体适定性；进一步通过引入加权Chemin-Lerner型的空间，我们证明了只要初始速度的两个分量充分小，3维各向异性的Navier-Stokes方程存在整体唯一解；此结果还被我们进一步推广于3维非齐次不可压缩Navier-Stokes，我们证明了只要初始密度充分靠近某一正常数且初始速度的两个分量充分小，三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程在临界空间中存在唯一解。最近我们利用热算子的极大正则性定理，将此结果推广至最佳情形。.对于可压缩流体的锥体激波,我们证明了超音速激波的整体存在性及稳定性，同时证明了跨音速激波的非稳定性，从而基本回答了空气动力学数学理论中的一个公开问题（见Courant 和Friedrichs的著作<>中（pages 317-318）的具体描述）. 对于来自流体力学中的非线性波动方程，退化双曲方程或可压缩Euler方程组，我们还系统研究了整体解和爆破问题，取得了系列深入的工作。

关于不可压缩Navier-Stokes方程，可压缩Navier-Stokes方程，Euler方程及其相关方程组整体解的存在性和不存在性，光滑解的爆破机制以及解的奇性机构等一直是流体力学数学理论和非线性偏微分方程的核心课题。其中关于三维不可压缩Navier-Stokes方程组整体光滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函数，局部光滑解是否在有限时间内爆破是Clay研究所公布的七大千禧年问题之一。这个问题的研究不仅具有深刻的数学意义，同时也具有强烈的应用背景。另外，非线性守恒律方程(组)，可压缩Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理论中起着基本的作用,该类方程的最重要的特征之一就是波的传播速度依赖于波本身, 从而导致了巨大的复杂性以及产生了多种奇性结构的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及边界层等，对这些现象的深入研究不但与力学和航空等许多领域有密切的联系,而且对现在的数学理论也是挑战。

本项目为解决资源勘探中的粘弹性介质的反演和背景噪声反演的难点问题，与应用数学领域的随机微分方程解的性质和数值解法的热点研究方向相结合，开展应用数学领域大家普遍关心的数学物理反问题研究，为加快资源勘探突破提供理论上的支持和可行的反演算法。本项目针对资源勘探中不同地质构造环境，研究粘弹性数学模型的构建和基于偏微分方程的反问题的理论和算法；研究含随机源的随机偏微分方程，利用随机微分方程解的统计性质和边界上的观测资料，提取和重构偏微分方程解的Green函数，研究由Green函数重构偏微分方程系数的反问题的唯一性、条件稳定性、快速算法以及数值实现问题。在以下几个方面取得了进展：1、被动成像的两阶交叉关联的理论分析与算法；2、长白山火山区深部速度结构的地震背景噪声成像反演研究；3、利用接收函数研究我国东北地区的俯冲板片结构；4、龙门山断裂带深部构造变形的粘弹性模拟研究；5、关于一类具零特征的一阶线性双曲组的边界能控性等。研究成果可以被应用于解决其他相关的资源勘探中的实际问题，可以为地球物理领域的研究者提供一些新的思路和新的方法。 2100433B

本项目为解决资源勘探中的粘弹性介质的反演和背景噪声反演的难点问题，与应用数学领域的随机微分方程解的性质和数值解法的热点研究方向相结合，开展应用数学领域大家普遍关心的数学物理反问题研究，为加快资源勘探突破提供理论上的支持和可行的反演算法。本项目将针对资源勘探中不同地质构造环境，研究粘弹性数学模型的构建和基于偏微分方程的反问题的理论和算法；研究含随机源的随机偏微分方程，利用随机微分方程解的统计性质和边界上的观测资料，提取和重构偏微分方程解的Green函数，研究由Green函数重构偏微分方程系数的反问题的唯一性、条件稳定性、快速算法以及数值实现问题。研究成果将应用于解决一二个资源勘探中的实际问题，为地球物理领域的研究者提供一些新的思路和新的方法。