朗肯状态

当挡土墙没有任何位移时，整个填土体在各点处的应力状态和没有建造挡土墙时与填土性质完全相同的天然土体中相应各点处的应力状态是完全一致的，即处于初始的弹性平衡状态。在填土表面下深度Z 处取一单元体A,那么作用在该单元体的水平面和垂直面上的应力为：

σz =σ1 =RZ σx =σ3 = K0RZ

式中：σz——地表下Z 深度处的自重应力；

σ1——作用于单元体A 的大主应力；

σx——作用于单元体A 的侧压力；

σ3——作用于单元体A 的小主应力；

K0 ——静止土压力系数；

R ——墙后填土重度；

Z ——计算点在填土下的深度。

根据上面的分析可知，在正常固结土中，σz=σ1=RZ, σ3 =σx= K0RZ，该单元体的应力状态可用莫尔圆Ⅰ表示。由于该点处于弹性平衡状态，故莫尔圆Ⅰ没有与抗剪强度包线相切。当挡土墙在土压力作用下向前移动或绕墙趾转动，墙后土体在水平方向上有拉伸趋势，在挡土墙的位移由零发展到墙后填土达到主动极限平衡状态时对应的位移量Δa 的过程中，σz=σ1 =RZ,保持不变；σx =σ3逐渐减小，且无法用解析法计算σ3的确定值。

挡土墙在位移过程中某一时刻单元体A 的应力状态可用莫尔圆来表示。当挡土墙位移增大到某一极限值时，即Δ－Δa 时，墙后土体在某一范围内达到主动极限平衡状态。由于墙底以下的土有摩擦作用，不可能在整个土体中都达到极限平衡状态，这时，σ3达到最小值，即σx =σ（3 min），而土的自重应力σz是大主应力却是不变的，即：

σz=σ1 =RZ σx =σ（3 min）

式中：σz——地表下Z 深度处的自重应力；

σ1——作用于单元体A 的大主应力；

R ——墙后填土重度；

Z ——计算点在填土下的深度；

σx——作用于单元体A 的侧压力；

σ（3 min）——主动土压力状态下土体剪切破坏时的最小主应力。

根据极限平衡条件可求出σ3 , 就是主动土压力强度。这时对应的极限应力圆可用圆Ⅲ来表示，圆Ⅲ与抗剪强度包线相切。这时填土中会形成一系列的滑裂面，面上各点都处于极限平衡状态，滑裂面与大主应力面的夹角是θ=45° φ/2，莫尔圆上切点与小主应力σ3的连线与σ轴的夹角即是θ 。

如前所述，当挡土墙不发生位移时，整个土体处于弹性平衡状态，在墙高范围内任一深度Z 处的应力为σz=σ1 =RZ, σx =σ3 = K0RZ。当挡土墙向填土方向移动，土体在水平方向上被压缩，则σ3不断增大，而σ1保持不变。当σ3<σ1 时，由于σx =σ3,莫尔圆半径逐渐减小，在该过程中的某一时刻单元体A 的应力状态可用莫尔圆Ⅳ表示；当σ3 =σ1时,莫尔圆缩成一个点，即图2 中的A 点，这时单元体在所有的方向上只作用相等的正应力σz，而剪应力Τ为零，所以在这种应力状态下，单元体不会发生剪切破坏。当σ3随着挡土墙的位移逐渐增大且大于σ1时，大小主应力的方向发生了变化，这时:σ1是土中的大主应力，而σ3 =σz = RZ 保持不变。这样就可根据极限平衡条件求出σ1（max）即被动土压力强度。其莫尔圆可用圆Ⅵ来表示，与抗剪包线相切。相应的填土体中形成一系列的滑裂面，滑裂面与水平面的夹角是θi=45°-φ/2，莫尔圆上切点与大主应力σ1的连线与σ轴的夹角，即是θi 。

朗肯土压力理论主要是基于弹性半空间体在极限平衡状态下应满足的极限平衡条件而提出的土压力计算方法，是土力学中一个重要内容。但在许多文献中，普遍存在两个问题，一是对朗肯理论的基本假设和应力状态之间的关系阐述过少；二是仅对墙后填土处于两种极限平衡状态时，提出了填土压力的计算方法，却极少对土的应力状态的变化过程进行分析。只有从土应力状态的动态变化的观点出发，才能真正理解朗肯土压力理论。针对这两个问题加以分析和研究 。

朗肯理论的基本假设：

(1)墙为钢体；

(2)墙背垂直光滑；

(3)填土表面水平。

那么假设(1)保证挡土墙本身不会发生任何形式的变形；假设(2)能够保证填土的任一垂直面上不存在摩擦力；假设(3)保证整个填土体与半空间弹性体在空间形状上的一致性。假设(1)、(3)容易理解，下面对假设(2)与应力状态之间的关系进行分析。在挡土墙高度范围内，填土表面下任一深度Z 处，有一与墙背接触的单元体A。

由于墙背垂直光滑，那么单元体Ⅰ与墙背接触的那个面上就不存在摩擦力；由于填土处于弹性平衡状态，那么单元体Ⅰ、Ⅱ都处于静止平衡状态，则单元体A 与单元体Ⅱ接触的另一个垂直面上也不存在摩擦力。这样，假设(2)就可以保证填土的任一垂直面上不存在摩擦力，从而在任一垂直面上也不存在剪应力。根据剪应力互等定理，挡土墙高度范围内，任一水平面的剪应力亦为零。这样，表面水平的填土体中的应力状态就与半空间弹性体中的应力状态一致，即任一单元体的水平面和垂直面上的正应力分别是大小主应力 。

针对现有文献中关于朗肯土压力理论存在的两个问题，提出了土应力状态动态分析的观点，通过对朗肯理论基本假设、主动土压力强度、被动土压力强度和土的应力状态之间的关系的分析，得出如下结论：在挡土墙的位移过程中，土中任一点的主应力也随之发生变化 。

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土压力依据

朗肯土压力理论是根据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论得出的土压力计算理论之一。

基本假设：墙背直立、光滑，墙后填土面水平。 这时，墙背与填土界面上的剪应力为零。不改变右边土体中的应力状态。当挡土墙的变位符合上述主动或被动极限平衡条件时，作用在挡土墙墙背上的土压力即为朗肯主动土压力或朗肯被动土压力。

土压力计算

（1）主动土压力计算

土的极限平衡条件：土体处于极限平衡状态时土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系式。

大主应力σ₁ = σ_v=γz

小主应力σ₃ = σ_h

主动土压力强度σ_a = σ_h

粘性土

无粘性土

主动土压力系数

粘性土的主动土压力强度包括两部分：

1.由土自重引起的土压力γzKa；

2.由粘聚力c引起的负侧压力2cKa1/2。

其中负侧压力对增背是拉应力，实际上墙与土在很小的拉力作用下就会分离（一般情况下认为土不能承受拉应力），故在计算土压力时，这部分应忽去不计。

临界深度z₀

粘性土主动土压力_Ea作用点位于墙底以上（H - z₀)/3处

无粘性土主动土压力，E_a— 合力（集中力），作用点位于墙底以上H /3处

（2）被动土压力计算

土的极限平衡条件

大主应力σ₁ = σ_h

小主应力σ₃ = σ_v=γz

被动土压力强度σ_p = σ_h

粘性土

无粘性土

被动土压力系数

粘性土被动土压力

E_p方向垂直墙背，作用点位于梯形面积的重心上

非粘性土被动土压力

E_p方向垂直墙背，作用点位于作用点位于墙底以上H /3处

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