空间角概念

（1） 定义： 范围（0 ，90]

（2） 作法：

a．平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。

b．补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等。

范围：[0，90]

作法：作出直线和平面所成的角，关键是做垂线，找射影

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。二面角的大小用它的平面角来度量。

平面角的做法：a.定义法

b.三垂线定理及其逆定理法

c.垂面法

1． 空间角的计算方法都是转化为平面角计算。要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系，比如利用“中点”等性质，直线与平面所称的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，我们往往在斜线上取一点向平面引垂线，以形成由平面的斜线、垂线及斜线在在平面上的射影组成的直角三角形。

2． 作二面角的平面角的方法：

a．定义法：在棱上取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所称的角，就是二面角的平面角。

b．三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点，该点与面上一点连线，和该点与垂足连线所夹的角既未二面角的平面角。

c．作垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，所成角即为二面角的平面角。

3．求角的一般步骤　找出或作出有关的平面角　证明它符合意义　归到某一三角形中进行计算2100433B

1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线（如异面直线所成角、直线与平面所成角）或两条射线（如二面角的平面角）所成角。

2.空间角的概念，是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时，必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面；必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而，用解析法和向量法没有上述要求。

3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。

1.空间角的定义体现了空间问题平面化的数学思想。把空间的角转化为相交直线（如异面直线所成角、直线与平面所成角）或两条射线（如二面角的平面角）所成角。

2.空间角的概念，是立体几何计算题的证明要点。当用传统的演绎推理法求上述角时，必须详尽写明所作的辅助直线、辅助平面；必须按照空间角的定义进行证明。然后计算。然而，用解析法和向量法没有上述要求。

3. 空间的角包括平面几何的相交直线所成的角、平行直线所成的角。

空间角度定义

当直线是平面的斜线（相交但不垂直）时，斜线与其在平面的射影的夹角，叫直线与平面所成的角。

规定：当直线在平面内或直线与平面平行时，直线与平面所成角为0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°.

空间角度范围

直线与平面所成角的范围是[0，π/2].

空间角度求法

（1）定义法

按照直线与平面所成角的定义。一般通过面的垂线，确定斜线射影。转化成斜线与射影的夹角。然后，解三角形求角。

（2）法向量法

1°转化成平面的法向量，与斜线的方向向量所成角的余角，或补角的余角。即用公式

sin<向量n，向量b>=|n·b|/|n||b|.

2°转化成斜线的方向向量, 与斜线射影方向向量所成角，或补角。即用公式

cos<向量a，向量a′>=(a·a′)/|a|| a′|.