可对角化矩阵性质定理

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可对角化矩阵充要条件
可对角化矩阵定义
可对角化矩阵性质定理常见问题
可对角化矩阵矩阵简介
可对角化矩阵性质定理文献
相似矩阵性质

可对角化矩阵性质定理

可对角化矩阵定理1

m级矩阵

或n维线性空间V的线性变换

可对角化的充要条件是

或

有n个线性无关的特征向量。当

可对角化时，与它相似的对角矩阵的主对角线上的元素就是

的全部特征值。

由上面的分析还知道，如果求出了矩阵

的n个线性无关的特征向量，那么用这些向量作列向量的矩阵T就使

成对角形，其主对角线上的元素就是

的全部特征值(按对应的特征向量排序)。

可对角化矩阵定理2

属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明: 设

是线性变换

的m个不同的特征值，

的属于它们的特征向量分别是

，下面用数学归纳法证明

线性无关。

(1)当

时，因为特征向量

，它一定线性无关。

(2)假定

时，

线性无关。

当

时，令

①

用

对两边作用得

②

①式两边乘以

得

③

从②减去③得

由归纳假设得

因为

，所以

，将它们代入①得

，于是

也线性无关。

用

取代

的位置上述推理过程一样正确，故定理得证。

在特征值和特征向量方面，矩阵与线性变换的理论是平行的，下面只就矩阵进行讨论，所得的结果对线性变换也成立。

可对角化矩阵推论1

若

有n个不同的特征值，则

可对角化。

因为复数域上的n次多项式恰有n个根，所以我们还有下面的推论。

可对角化矩阵推论2

如果

的特征多项式在复数域上的根互不相等，那么

作为复数域上的矩阵一定可以对角化。

可对角化矩阵推论3

如果

是

的所有互不相同的特征值，各特征子空间

的基排列如下：

那么上述特征向量组线性无关，从而特征子空间的和是直和。

可对角化矩阵定理3

矩阵

可对角化的充要条件是

可以表为A的特征子空间的直和。

证明: 若

可对角化，根据定理1，它有n个线性无关的特征向量，将它们按所属的特征值进行分组得到特征向量组

其中子组

中各向量同属特征值

，它们一定是A的特征子空间

的基(否则将不构成所在特征子空间的基的各子组扩充成所在特征子空间的基，由推论3知，A的线性无关的特征向量的个数大于n，这与

矛盾)，于是

反过来，设

，从各个特征子空间取出一组基就得到

的n个线性无关的特征向量，故

可对角化。

可对角化矩阵定理4

矩阵

可对角化的充要条件是A的特征多项式在

上可以分解为

的形式，并且特征子空间

的维数

。

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可对角化矩阵造价信息

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可对角化矩阵充要条件

n阶矩阵可对角化的充要条件:每个Ki重特征值λi对应的特征矩阵λiE-A的秩为n-Ki。

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可对角化矩阵定义

如果一个矩阵与一个对角矩阵相似，我们就称这个矩阵可经相似变换对角化，简称可对角化；与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换。

任取

，则

可作为

上n维线性空间V的某个线性变换

在一组基

下的矩阵。

若

可对角化，即

使

成对角形，则B是

在另一组基

下的矩阵，且

，记B的主对角线元素为

，这是

的全部特征值，也是

的全部特征值(因为两矩阵相似)，由线性变换的矩阵的定义知

所以，

是

的n个线性无关的特征向量，它们在基向量组

下的坐标

，即T的列向量组，就是

的n个线性无关的特征向量。

反过来，如果

有n个线性无关的特征向量

，与它们对应的特征值是

，以

为列向量组作成一个可逆矩阵T，令

，就得到

的n个线性无关的特征向量

，用

作为V的基，则上述方程组成立，从而

在这组基下的矩阵是对角矩阵

，并且

。

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可对角化矩阵性质定理常见问题

矩阵主对角线

答案：在线性代数中规定主对角线就是从左上开始的那条对角线.也就是说，当在Ｃ语言程序中相等的时候，即从左上角到右下角而从左下角到右上角的那个叫矩阵次对角线
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现在市场的价格战太离谱了，导致很多的商家都必须用低价来吸引客户，所以产品质量往往都得不到保障。力弘(LHLEEHAM)提供全系列会议视听系统矩阵切换控制器,包含产品有同轴矩阵系列AHD/TVI...
矩阵管理的优缺点

1.矩阵管理的优点它按照项目进行组织，加强了不同部门之间的配合信息交流，克服了直线职能结构中各部门相互脱节的现象。它同时机动灵活，可随项目的开始与结束进行组织或给予解散。一个人还可以同时参加几个项目小...

可对角化矩阵矩阵简介

设A是数域F上n阶矩阵，如果存在可逆阵P，使inv(P)AP为对角阵，那么A称为可对角化矩阵。n阶方阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。对角矩阵的主对角线由特征值(可按任意次序)构成，相似变换矩阵由属于相应特征值的特征向量构成。

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可对角化矩阵性质定理文献

矩阵函数和函数矩阵

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页数： 6页

评分： 4.4

矩阵函数求导首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵（1）函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。单变量函数矩阵的微分与积分考虑实变量 t 的实函数矩阵 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ，所有分量函数 ( )ijx t 定义域相同。定义函数矩阵的微分与积分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函数矩阵的微分有以下性质：（1） ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ；（2） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

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矩阵的定义

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大小：112KB

页数： 21页

评分： 4.7

矩阵的定义

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相似矩阵性质

设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

(1)A~A

(2) 若A~B，则B~A

(3) 若A~B，B~C，则A~C

(4) 若A~B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|

(5) 若A~B，且A可逆，则B也可逆，且B~A。

(6) 若A~B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性

无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。

内容分布图示

★ 相似矩阵与相似变换的概念

★ 相似矩阵的性质

★ 矩阵与对角矩阵相似的条件

★ 矩阵对角化的步骤

★ 矩阵可对角化的条件

★ 矩阵对角化的应用

★ 约当形矩阵的概念

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