可对角化矩阵

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为 可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间,则线性映射 T : V → V 被称为 可对角化的,如果存在 V 的一个基,T 关于它可被表示为对角矩阵。 对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。

可对角化矩阵基本信息

中文名 可对角化矩阵 外文名 diagonalizable matrix
所属领域 线性代数和矩阵论 所属学科 数学
相关概念 矩阵、对角矩阵、线性变换等

如果一个矩阵与一个对角矩阵相似,我们就称这个矩阵可经相似变换对角化,简称可对角化;与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换。

任取

,则
可作为
上n维线性空间V的某个线性变换
在一组基
下的矩阵。

可对角化,即
使
成对角形,则B是
在另一组基
下的矩阵,且
,记B的主对角线元素为
,这是
的全部特征值,也是
的全部特征值(因为两矩阵相似),由线性变换的矩阵的定义知

所以,
的n个线性无关的特征向量,它们在基向量组
下的坐标
,即T的列向量组,就是
的n个线性无关的特征向量。

反过来,如果

有n个线性无关的特征向量
,与它们对应的特征值是
,以
为列向量组作成一个可逆矩阵T,令
,就得到
的n个线性无关的特征向量
,用
作为V的基,则上述方程组成立,从而
在这组基下的矩阵是对角矩阵
,并且

可对角化矩阵造价信息

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可对角化矩阵定理1

m级矩阵

或n维线性空间V的线性变换
可对角化的充要条件是
有n个线性无关的特征向量。当
可对角化时,与它相似的对角矩阵的主对角线上的元素就是
的全部特征值。

由上面的分析还知道,如果求出了矩阵

的n个线性无关的特征向量,那么用这些向量作列向量的矩阵T就使
成对角形,其主对角线上的元素就是
的全部特征值(按对应的特征向量排序)。

可对角化矩阵定理2

属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明: 设

是线性变换
的m个不同的特征值,
的属于它们的特征向量分别是
,下面用数学归纳法证明
线性无关。

(1)当

时,因为特征向量
,它一定线性无关。

(2)假定

时,
线性无关。

时,令

对两边作用得

①式两边乘以

从②减去③得

由归纳假设得

因为

,所以
,将它们代入①得
,于是
也线性无关。

取代
的位置上述推理过程一样正确,故定理得证。

在特征值和特征向量方面,矩阵与线性变换的理论是平行的,下面只就矩阵进行讨论,所得的结果对线性变换也成立。

可对角化矩阵推论1

有n个不同的特征值,则
可对角化。

因为复数域上的n次多项式恰有n个根,所以我们还有下面的推论。

可对角化矩阵推论2

如果

的特征多项式在复数域上的根互不相等,那么
作为复数域上的矩阵一定可以对角化。

可对角化矩阵推论3

如果

的所有互不相同的特征值,各特征子空间
的基排列如下:

那么上述特征向量组线性无关,从而特征子空间的和是直和。

可对角化矩阵定理3

矩阵

可对角化的充要条件是
可以表为A的特征子空间的直和。

证明: 若

可对角化,根据定理1,它有n个线性无关的特征向量,将它们按所属的特征值进行分组得到特征向量组

其中子组
中各向量同属特征值
,它们一定是A的特征子空间
的基(否则将不构成所在特征子空间的基的各子组扩充成所在特征子空间的基,由推论3知,A的线性无关的特征向量的个数大于n,这与
矛盾),于是

反过来,设
,从各个特征子空间取出一组基就得到
的n个线性无关的特征向量,故
可对角化。

可对角化矩阵定理4

矩阵

可对角化的充要条件是A的特征多项式在
上可以分解为

的形式,并且特征子空间
的维数

设A是数域F上n阶矩阵,如果存在可逆阵P,使inv(P)AP为对角阵,那么A称为可对角化矩阵。n阶方阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。对角矩阵的主对角线由特征值(可按任意次序)构成,相似变换矩阵由属于相应特征值的特征向量构成。

可对角化矩阵常见问题

  • 矩阵主对角线

    答案:在线性代数中规定主对角线就是从左上开始的那条对角线.也就是说,当在C语言程序中相等的时候,即从左上角到右下角而从左下角到右上角的那个叫矩阵次对角线

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n阶矩阵可对角化的充要条件:每个Ki重特征值λi对应的特征矩阵λiE-A的秩为n-Ki。

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设A,B和C是任意同阶方阵,则有:

(1)A~A

(2) 若A~B,则B~A

(3) 若A~B,B~C,则A~C

(4) 若A~B,则r(A)=r(B),|A|=|B|

(5) 若A~B,且A可逆,则B也可逆,且B~A。

(6) 若A~B,则A与B有相同的特征方程,有相同的特征值。

若A与对角矩阵相似,则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性

无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。

内容分布图示

★ 相似矩阵与相似变换的概念

★ 相似矩阵的性质

★ 矩阵与对角矩阵相似的条件

★ 矩阵对角化的步骤

★ 矩阵可对角化的条件

★ 矩阵对角化的应用

★ 约当形矩阵的概念

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