矩阵计算的理论与方法

第一章 矩阵知识的复习和补充

1 主要记号和定义

2 Schur分解和奇异值分解

2.1 Schur分解

2.2 奇异值分解

3 向量范数和矩阵范数

3.1 向量范数

3.2 矩阵范数

3.3 谱半径和矩阵序列的收敛性

4 正交投影和子空间之间的距离

4.1 正交投影

4.2 子空间之间的距离

5 非负矩阵

5.1 基本概念和性质

5.2 PerronFrobenius定理

5.3 非负矩阵的谱

5.4 Birkhoff定理

6 有关矩阵特征值的几个重要定理

6.1 一般方阵的Bauer-Fike定理

6.2 正规矩阵的Hoffman-Wielandt定理

6.3 Hermite矩阵的极小极大定理

习题

第二章 矩阵计算概论

1 矩阵计算的基本问题和来源

1.1 基本问题

1.2 膜的振动

1.3 弹性系统的振动

1.4 多元线性回归分析

2 病态问题和数值稳定性

2.1 矩阵计算问题的病态和良态

2.2 算法的数值稳定性

3 矩阵计算的基本工具

3.1 Householder变换

3.2 Givens变换

3.3 Gauss变换

习题

第三章 线性方程组的直接解法

1 线性方程组的条件数

2 基本解法的回顾

2.1 Gauss消去法

2.2 Cholesky分解法

3 对称不定方程组的解法

4 Vandermonde方程组的解法

5 Toeplitz方程组的解法

5.1 YuleWalker方程组

5.2 一般右端项的Toeplitz方程组

5.3 Toeplitz矩阵的逆

6 条件数的估计和迭代改进

6.1 条件数的估计

6.2 迭代改进

习题

第四章 线性方程组的迭代解法

1 迭代法概述

2 基本迭代法

3 正定矩阵和某些迭代法的收敛性

4 H矩阵和某些迭代法的收敛性

5 多项式加速

习题

第五章 共轭梯度法

1 最速下降法

2 二次泛函的几何性质

3 共轭梯度法及其基本性质

4 实用共轭梯度法及其收敛性

4.1 实用共轭梯度法

4.2 收效性分析

5 预优共轭梯度法

6 不完全分解预优技巧

6.1 松弛不完全LU分解

6.2 松弛不完全Cholesky 分解

6.3 分块不完全Cholesky 分解

7 求解非正定线性方程组的共轭梯度法

7.1 正规化方法

7.2 广义共轭剩余法题

第六章 最小二乘问题的数值解法

1 最小二乘解的数学性质

1.1 最小二乘解的特征

1.2 最小二乘解的一般表示

1.3 最小二乘解的扰动分析

2 求解满秩LS问题的数值方法

2.1 正规化方法

2.2正交化方法

3 求解亏秩LS问题的数值方法

3.1 列主元QR分解法

3.2 奇异值分解法

3.3 数值秩的定义和确定方法

4 求解L8问题的迭代法

4.1 基于正规化方程组的古典迭代法

⒋2 基于等价方程组的SOR和SSOR迭代法

5 完全最小二乘问题

习题

第七章 求解特征值问题的QR方法

1 特征值和不变子空间的条件数

1.1 特征值的条件数

1.2 不变子空间的条件数

2 双重步位移的QR算法

2.1Q R算法的基本思想

2.2 实Schur标准形

2.3 上Hessenberg化

2.4 双重步位移的QR迭代

2.5 双重步位移的QR算法

3 特征向量和不变子空间的计算

3.1 特征向量的计算

3.2 不变子空间的计算

4 对称QR方法

5 奇异值分解的计算

6 分而治之法

6.1 分割

6.2 胶合

习题

第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法

1 同伦算法概述

2 同伦的构造和性质

3 同伦路径的数值追踪

3.1 预估

3.3 校正

3.3 核查

3.4 同伦算法

习题

第九章 Lanczos方法

1 Lanczos迭代及其基本性质

2 Kanie-Paige-Saad理论

3 Lanczos算法

4 求解对称线性方程组的Lanczos方法

5 求解非对称线性方程组的广义极小剩余法

习题

第十章 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法

1 基本问题和定性理论

2 数值方法

2.1 Lanczos方法

2.2 正交约化法

3 相关问题

3.1 秩1修改问题

3.2 广对称Jacobi矩阵的特征值反问题

3.3 对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值

习题

参考文献

索引

写这本书的主要目的，是为计算数学有关专业研究生和高年级大学生提供一本既能反映映阵计算的基础理论、基本方法和最新进展，又具有实用性和启发性的教学参考书，使之通过达本书的学习，能够对矩阵汁算的有关理论和方法有一个比较全面、系统的了解，并为进一步学爿与研究，打下一个较好的基础。

基于这样的目的，本书在注重基础理论的前提下，重点放在介绍矩阵计算这门学科近十年来发展成熟并得到了广泛应用的理论和方法，其中主要包括:不完全分解预优共轭梯度法，广义共轭剩余法，广义极小剩余法，Lanczos方法，求解特征值问

作 者:徐树方著 丛 书 名:北京大学数学丛书

版 次:1

页 数:370

装 帧:平装

开 本:32开

所属分类:图书 > 科学与自然 > 数学

书 名: 矩阵计算

作者：（美）戈卢布，（美）范洛恩

出版社： 人民邮电出版社

出版时间： 2009-7-1

ISBN: 9787115208804

开本： 16开

定价: 89.00元

本书系统介绍了矩阵计算的基本理论和方法。内容包括矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos方法、矩阵函数及专题讨论等。书中的许多算法都有现成的软件包实现，每节后还附有习题，并有注释和大量参考文献。

本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生的教材，亦可作为计算数学和工程技术人员的参考用书。