矩阵论引论

习题四提示 2证明：（1）以 HUVA 为子块的分块矩阵 m H H IV OUVA 左乘两个可逆分块矩阵， 可得 UAVIO UA IV OUVA IO UI IAV OI H mm H H m n m H n 11 上式中 A可逆，且由题意知 UAVI Hm 1 可逆，因此等式右边可逆， 即等式左边可逆， 所以可分析得 HUVA 可逆，得证。 （2）由上面可知 I AUVAUVI AVIUAVUAVIUAUVI AVIUAVUAUVAUVAVIUAVUI AVIUAVUAAUVA HH HHHH HHHHHH HHH 11 11111 11111111 11111 ))(( )()( )()( 可知 111111 )()( AVIUAVUAAUVA HHH 1 : ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) . : ( ) . ( ) , . 0, 0) T T T T T r A

1 习题 6 7. 证：（1）. ( ) 1, ( ) , 1.I I I I (2). 设对应 的特征向量为 ，即 A ，从而 11A ， 则 111 A 1A ，即 1 1 A ，也就是 1 1 A . 12. 证： (1) 设 rank(A)=r. 因为 )(max2 AAA H ，矩阵 AA H 是 Hermite 矩阵，其特征值是非负实数，记为 1 0r ，于是得 12A ，且 )( AAtA HrF = 1 r i i 21 A 另一方面， 1 r iF i A 1 2r r A ，故有 2 1 F FA A Ar (2). 2 （3） 2 1 .A A m A n 证明：由定理 6.2.9 及（ 2）的结论，知 2 2 2 1 .A A A m A 于是 2A m A 。 设 0 ,1 1 1 max n n ij i j i m j j A a a ，又 0 0