矩阵的秩

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A B)<=r(A) r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A) r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB) n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A) r(B)

即r(A) r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A) r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。2100433B

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(a_ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

由行列式的性质知，矩阵A的转置A^T的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(A^T)。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩R_ab<=min{R_a,R_b};

引理：设矩阵A=(a_ij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零） 。

定义1:用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A），根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

定义2:在

（1）有某个r阶子式

（2）所有r 1阶子式

称A的秩为r，记作R（A)=r。规定：R（O)=0.

对

若R（A)=n，称A为列满秩矩阵。

对

若R（A)

第1章 行列式

1．1 行列式的定义

习题1．1

1．2 行列式的性质

习题1．2

1．3 行列式按行（列）展开

习题1．3

1．4 克拉默法则

习题1．4

总习题

第2章 矩阵

2．1 矩阵的定义

习题2．1

2．2 矩阵的运算

习题2．2

2．3 逆矩阵

习题2．3

2．4 分块矩阵

习题2．4

总习题二

第3章 矩阵的初等变换

3．1 矩阵的初等变换

习题3．1

3．2 矩阵的秩

习题3．2

3．3 线性方程组的解

习题3．3

总习题三

第4章 向量组的线性相关性

4．1 n维向量及其线性运算

习题4．1

4．2 向量组的线性相关性

习题4．2

4．3 向量组的秩

习题4．3

4．4 向量空间

习题4．4

4．5 线性方程组的解的结构

习题4．5

总习题四

第5章 相似矩阵及二次型

5．1 向量的内积、长度及正交性

习题5．1

5．2 方阵的特征值与特征向量

习题5．2

5．3 相似矩阵

习题5．3

5．4 二次型

习题5．4

总习题五

第6章 概率论的基本概念

6．1 随机事件及其运算

习题6．1

6．2 频率与概率

习题6．2

6．3 条件概率

习题6．3

6．4 独立性

习题6．4

总习题六

第7章 随机变量及其分布

7．1 随机变量

习题7．1

7．2 离散型随机变量及其分布律

习题7．2

7．3 分布函数与连续型随机变量

习题7．3

总习题七

……

第8章 二维随机变量及其分布

第9章 随机变量的数字特征

第10章 大数定理及中心极限定理

第11章 样本及其抽样分布

第12章 参数估计

第13章 假设检验

第14章 Matlab软件及其应用

附录

习题答案 2100433B

前辅文

第一章 矩阵及其初等变换

§ 1.1 矩阵的概念

§ 1.2 矩阵的运算

§ 1.3 矩阵分块及其运算

§ 1.4 初等变换

复习题一

第二章 方阵的行列式与逆矩阵

§ 2.1 n 阶行列式

§ 2.2 行列式的性质及计算

§ 2.3 行列式的展开定理

§ 2.4 克拉默法则

§ 2.5 方阵的逆矩阵

§ 2.6 矩阵的秩

§ 2.7 线性方程组的消元法

*§ 2.8 投入产出数学模型

复习题二

第三章 几何空间

§ 3.1 向量的运算及投影

§ 3.2 直角坐标系

§ 3.3 向量的数量积､向量积和混合积

§ 3.4 空间平面方程

§ 3.5 空间直线方程

§ 3.6 距离与平面束

§ 3.7 曲面与曲线方程

复习题三

第四章 n 维向量与线性方程组

§ 4.1 n 维向量空间的概念

§ 4.2 向量组的线性关系

§ 4.3 向量组的秩与向量空间的基

§ 4.4 线性方程组解的结构

复习题四

第五章 方阵的特征值与特征向量

§ 5.1 n 维向量的内积､长度与正交

§ 5.2 特征值与特征向量

§ 5.3 相似矩阵及矩阵的对角化

*§ 5.4 最小二乘问题

复习题五

第六章 二次型与特殊二次曲面

§ 6.1 二次型及其标准形

§ 6.2 正定实二次型

§ 6.3 特殊二次曲面

*§ 6.4 二次型的应用问题

复习题六

附录一 部分习题参考答案与提示

附录二 复数､数环和数域

附录三 连加符号Σ 与连乘符号Π

参考文献 2100433B