角平分线长公式第三形式

角平分线长公式公式

△ABC中，角平分线

角平分线长公式推导过程

证明。如图4，设AB、AC、AD长a、b、f。易知

即

于是

证毕。

外角平分线长公式

公式

下面不加证明地给出公式。在△ABC中，∠A的外角平分线记为

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角平分线长公式公式

三角形ABC的角平分线为AD，D在CB上。则

角平分线长公式推导过程

证明。如图3，延长AC到E，使CE=CD，连接DE，则AE=AC CD，

即

又

则

于是

又

由角平分线定理得

即

代入①中得

证毕。

角平分线长公式公式

在△ABC中，∠A的角平分线记为

其中p是半周长。

角平分线长公式推导过程

证明。法一。如图1，我们先证明

由角平分线定理可得

由余弦定理，

把

即

设

于是

其他角平分线长度同理可证。

证毕。

提要。法二。运用斯特瓦尔特定理，可得证明。

已知，如图4，AM为△ABC的角平分线，求证:

角平分线定理面积法

由三角形面积公式，得

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分线

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根据：等高底共线，面积比=底长比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，则AB:AC=MB:MC

角平分线定理相似法

过C作CN∥AB，交AM的延长线于N

∵CN∥AB

∴∠ABC=∠BCN

又 ∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分线

∴∠BAN=∠CAN

又 ∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（过M作MN∥AB交AC于N也可证明）

角平分线定理正弦定理法

作△ABC的外接圆，AM交圆于D

由正弦定理，得

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分线

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB ∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

三角形内外角平分线性质定理：三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。 2100433B