静不定桁架

桁架是由一些用直杆组成的三角形框构成的几何形状不变的结构物。杆件间的结合点称为节点(或结点)。根据组成桁架杆件的轴线和所受外力的分布情况，桁架可分为平面桁架和空间桁架。屋架或桥梁等空间结构是由一系列互相平行的平面桁架所组成。若它们主要承受的是平面载荷，可简化为平面桁架来计算。

平面桁架

组成桁架的杆件的轴线和所受外力都在同一平面上(图1)。平面桁架可视为在一个基本的三角形框上添加杆件构成的。每添加两个杆，须形成一个新节点才能使结构的几何形状保持不变。这种能保持几何坚固性的桁架叫作无余杆(或叫无冗杆)桁架。如果只添加杆件而不增加节点，就不能保持桁架的几何坚固性，这种桁架叫作有余杆(或叫有冗杆)桁架。分析静定平面桁架的受力情况有以下两种方法：①截面法②节点法③麦克斯韦-克雷莫纳法

空间桁架

组成桁架各杆件的轴线和所受外力不在同一平面上。在工程上，有些空间桁架不能简化为平面桁架来处理，如网架结构。塔架、起重机构架等。空间桁架的节点为光滑球铰结点，杆件轴线都通过联结点的球铰中心并可绕球铰中心的任意轴线转动。每个节点在空间有三个自由度。节点和杆件数的关系为W=3j－n，W>0为几何可变桁架，W=0为几何不变且无多余约束的空间桁架。空间桁架和平面桁架一样，可用部分截割法和节点法求出桁架内所有杆件所受的内力。部分截割法则是利用空间任意力系的六个平衡条件求出各杆的内力。节点法是截取节点为隔离体，利用每个节点所受的空间汇交力系的三个平衡条件，求出各杆的内力。

房屋建筑用的桁架，一般仅进行静力计算；对于风力、地震力、运行的车辆和运转的机械等动荷载，则化为乘以动力系数的等效静荷载进行计算；特殊重大的承受动荷载的桁架，如大跨度桥梁和飞机机翼等，则需按动荷载进行动力分析（见荷载）。平面桁架一般按理想的铰接桁架进行计算，即假设荷载施加在桁架节点上（如果荷载施加在节间时，可按简支梁换算为节点荷载），并和桁架的全部杆件均在同一平面内，杆件的重心轴在一直线上，节点为可自由转动的铰接点。理想状态下的静定桁架，可以将杆件轴力作为未知量，按静力学的数解法或图解法求出已知荷载下杆件的轴向拉力或压力（见杆系结构的静力分析）。

工程用的桁架节点，一般是具有一定刚性的节点而不是理想的铰接节点，由于节点刚性的影响而出现的杆件弯曲应力和轴向应力称为次应力。计算次应力需考虑杆件轴向变形，可用超静定结构的方法或有限元法求解。空间桁架由若干个平面桁架所组成，可将荷载分解成与桁架同一平面的分力按平面桁架进行计算，或按空间铰接杆系用有限元法计算。

根据桁架杆件所用的材料和计算所得出的内力，选择合适的截面应能保证桁架的整体刚度和稳定性以及各杆件的强度和局部稳定，以满足使用要求。桁架的整体刚度以控制桁架的最大竖向挠度不超过容许挠度来保证；平面桁架的平面外刚度较差，必须依靠支撑体系保证。支撑系统有上弦支撑、下弦支撑、垂直支撑和桁架共同组成空间稳定体系。 2100433B

足够强度—不发生断裂或塑性变形；足够刚性—不发生过大的弹性变形；足够稳定性—不发生因平衡形式的突然转变而导致坍塌；良好的动力学特性—抗震、抗风性。桁架的设计要求： 要有符合要求的杆件；要有良好的连接件，包括铆钉、销钉及焊缝的连接。这些就涉及到桁架的类型、杆件的尺寸和材料，但首先是静力学分析。

从力学方面分析，桁架外形与简支梁的弯矩图相似时，上下弦杆的轴力分布均匀，腹杆轴力小，用料最省；从材料与制造方面分析，木桁架做成三角形，钢桁架采用梯形或平行弦形，钢筋混凝土与预应力混凝土桁架为多边形或梯形为宜。桁架的高度与跨度之比，通常，立体桁架为1/12~1/16，立体拱架为1/20~1/30，张拉立体拱架为1/30~1/50，在设计手册和规范中均有具体规定。桁架的使用范围很广，在选择桁架形式时应综合考虑桁架的用途、材料和支承方式、施工条件，其最佳形式的选择原则是在满足使用要求前提下，力求制造和安装所用的材料和劳动量为最小。

三角形桁架

三角形桁架在沿跨度均匀分布的节点荷载下，上下弦杆的轴力在端点处最大，向跨中逐渐减少；腹杆的轴力则相反。三角形桁架由于弦杆内力差别较大，材料消耗不够合理，多用于瓦屋面的屋架中。

梯形桁架

梯形桁架和三角形桁架相比，杆件受力情况有所改善，而且用于屋架中可以更容易满足某些工业厂房的工艺要求。如果梯形桁架的上、下弦平行就是平行弦桁架，杆件受力情况较梯形略差，但腹杆类型大为减少，多用于桥梁和栈桥中。

多边形桁架

多边形桁架也称折线形桁架。上弦节点位于二次抛物线上，如上弦呈拱形可减少节间荷载产生的弯矩，但制造较为复杂。在均布荷载作用下，桁架外形和简支梁的弯矩图形相似，因而上下弦轴力分布均匀，腹杆轴力较小，用料最省，是工程中常用的一种桁架形式。

空腹桁架

空腹桁架基本取用多边形桁架的外形，无斜腹杆，仅以竖腹杆和上下弦相连接。杆件的轴力分布和多边形桁架相似，但在不对称荷载作用下杆端弯矩值变化较大。优点是在节点相交会的杆件较少，施工制造方便。

桁架桥

1、桁架桥是桥梁的一种形式。

2、桁架桥一般多见于铁路和高速公路；分为上弦受力和下弦受力两种。

3、桁架由上弦、下弦、腹杆组成；腹杆的形式又分为斜腹杆、直腹杆；由于杆件本身长细比较大，虽然杆件之间的连接可能是“固接”，但是实际杆端弯矩一般都很小，因此，设计分析时可以简化为“铰接”。简化计算时，杆件都是“二力杆”，承受压力或者拉力。

4、由于桥梁跨度都较大，而单榀的桁架“平面外”的刚度比较弱，因此，“平面外”需要设置支撑。设计桥梁时，“平面外”一般也是设计成桁架形式，这样，桥梁就形成双向都有很好刚度的整体。

5、有些桥梁桥面设置在上弦，因此力主要通过上弦传递；也有的桥面设置在下弦，由于平面外刚度的要求，上弦之间仍需要连接以减少上弦平面外计算长度。

6、桁架的弦杆在跨中部分受力比较大，向支座方向逐步减小；而腹杆的受力主要在支座附件最大，在跨中部分腹杆的受力比较小，甚至有理论上的“零杆”。

图 1 ，一个静不定的梁的自由体受力图

举例而言，如图右，作用在梁上的力 ，造成了四只反应力为 。静力平衡方程式为

： ， ： ， ： 。 这问题有四只力是未知数（变数） () 。但是，只有三个静力平衡方程式。因此，这联立方程式无解。这结构是静不定的。我们必须加入物体材料与形变的考量，才能解答这问题。2100433B

用材料力学方法计算闭式机架横梁的静不定力矩时，由于对机架建立的矩形自由框架模型假设机架横梁与立柱转角处是刚性的，忽略了机架转角处的变形，计算结果偏离实际情况。研究提出一种柔性转角计算法。考虑机架横梁与立柱转角处存在的角变形，并利用该角变形与所受弯矩的关系，求出横梁静不定力矩和角变形的关系，进而通过卡氏定理求解，得出横梁静不定力矩的函数表达式。本方法经过实例检验，计算数值结果有足够高的精度，并且避免了冗长的数值运算，可以作为建立更复杂控制模型的基础工具。

机架横梁柔性转角计算法

计算上横梁中部的静不定力矩时，因方法的差别而导致不同的结果，但是当静不定力矩数值求解出来后，其他诸如各个特征点的应力、应变和位移的计算过程，各种计算方法则大致相同。本方法认为机架转角处存在附加的、相对的转角变形，并且是可以计算出来的。转角变形量的大小和立柱上的力矩直接相关，呈线性正比例关系。转角变形量由四个部分组成，分别是力矩对上横梁、立柱上部、立柱下部、下横梁产生的变形。对应的变形值分别用θ₁、θ₂、θ₃和θ₄表示，如图1所示。

将机架横梁看作纯弯曲梁，受弯后的转角和受弯时的中性层曲率半径分别用下式计算。

上、下横梁和立柱上、下部都可以看作特殊形式的纯弯曲梁，呈倒三角形布置，其弯曲变形是由纵向平行侧面构成的长方体纯弯曲梁的二分之一，因而转角变形量也相应减半。

机架横梁计算实例

图2为某轧钢厂750 mm四辊冷轧机机架。研究分别用材料力学法、小圆弧法、精确圆弧法、有限元法以和柔性转角法对该机架进行强度计算。计算结果见表1。

表1中用材料力学法和柔性转角法计算的M₁与M₂的总和相同。柔性转角法计算出的M₁比材料力学法小，因而M₂能大些。但是M₂更接近小圆弧法和精确圆弧法的计算结果。小圆弧法和精确圆弧法计算的M₁与M₂要小，导致计算出的横梁外缘应力数据偏小。

由于材料力学法和柔性转角法忽略了上下横梁的形状差异，应力计算结果表明上下横梁内外缘应力数据为对称分布，与实际情况有较大差别。小圆弧法和精确圆弧法可以如实地反映机架真实的形状及变化过程，上横梁内外缘应力数据应该和上横梁内外缘应力数据有所不同，所以计算结果大部分与有限元法比较接近。

精确圆弧法计算的垂直方向变形最接近有限元法计算结果，而水平方向变形的计算则以柔性转角法最为准确。

机架横梁研究结论

柔性转角法与材料力学法、小圆弧法和精确圆弧法都是闭式轧机机架的解析算法。材料力学法算法简单，计算结果偏于保守; 小圆弧法和精确圆弧法计算过程冗长、模型分段复杂，计算结果相对准确; 柔性转角法算法比较简单，计算结果也比较准确，有一定的参考价值。

张弦桁架上弦杆截面为D480X22，桁架中部下弦 杆件截面为D480x12，接近支座处下弦杆件为口480x24，材质为Q345D，桁架弦杆与腹杆间为相贯焊接连接。