交换律介绍

交换律是离散信号卷积和运算最常用的几个基本运算规则之一，离散序列卷和运算满足交换律，即两序列卷和运算与卷和次序无关，即

与连续信号卷积积分运算规则对照，离散序列信号卷积和运算也有相应的一些运算规则，不过卷积和的差分规则、累和规则用得很少，常用的离散信号卷积和运算的几个基本运算规则是交换律，结合律和分配律。

卷和运算的交换律、结合律、分配律可仿照卷积运算的交换律、结合律、分配律推导过程证明成立，这里应强调的是，结合律与分配律应用于系统分析时主要用来等效化简复合系统：两个子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于相并两子系统单位序列响应的代数和。如图1中（a）所示。两个子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应等于相级联两子系统单位序列响应的卷积和，如图1中（b）所示。

交换律结合律

三个序列卷和运算，任意两个序列先卷和运算，再与第3个序列作卷和运算，其运算结果等同，即

交换律分配律

两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷和运算，然后二者再相加。即

交换律卷积和定义

与连续时间信号的卷积积分相对应和类似，离散信号有卷积和的运算。其定义为

交换律卷积和性质

与卷积分的性质相对应和类似，卷积和也有一些同样的性质，如图2所示；

交换律卷积和表

常用信号的卷积和如图3所示；

交换律求卷积和常用方法

(1)单位序列卷积和法；

(2)直接求累加和法；

(3)图解法；

(4)解析法(配合查卷积和表)；

(5)排表法；

(6)利用差分性质求。

现在来研究开关代数的一组性质(这些性质有时称为定理)。

1.结合律：(a b) c=a (b c) ，

(a·b)·c=a·(b·c).

2.交换律：a b=b a， a·b=b·a.

3.分配律：a·(b c)=(a·b) (a·c)，

a (b·c)=(a b)·(a c).

4.吸收律：a a·b=a， a·(a b)=a.

5.幂等律：a a=a， a·a=a.

6.德·摩根律(反演律)：(a b)′=a′·b′，

(a·b)′=a′ b′.

7.对合律(双重否定律)：(a′)′=a.

8.互补律：a a′=1， a·a′=0.

9.零一律(幺元律)：a 0=a， a·1=a.

10.囿元律(极元律)：a 1=1， a·0=0.

卷积(Convolution)既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。其运算性质在线性系统理论、光学成像理论和傅里叶变换及其应用中经常用到。

卷积的运算性质有线性特性，复函数的卷积，可分离变量，卷积符合交换律，卷积符合结合律，坐标缩放性质，卷积位移不变性，函数f（x，y）与

其中线性特性可描述为：

设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，

{af(x，Y) bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y) bh(x，y)*g(z，y)。

同样有：

f(x，y)*{ah(x，y) bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y) bf(x，y)*g(x，y) 。