估计值

参数估计和测量平差都是利用有限个观测的数值，遵循一定的原则，对母体中的未知参数进行估求，并在这个过程中要求观测值的个数多于未知参数个数( 要有多余观测)。当然，观测值个数越多，估计就越准确。

在数理统计中，当母体分布函数的形式为已知，但它的分布函数中的一个或多个参数却是未知时，为了确定未知参数的值，就需要得到大量子样观测值，并用概率论对具有随机现象的观测值进行整理分析，从而去估计母体中未知参数的值，这个问题在数理统计中称为参数估计。

平差问题是由于有多余观测而产生的，无论何种平差方法，其最终目的都是对参数真值

在数理统计中，对未知参数的值进行估计的方法称为点估计( 也称定值估计)。设母体X的分布函数形式已知，如

综上所述，测量平差的实质就是参数估计。平差中对参数

点估计的关键在于找到上面所提到的“按照某种原则构成的适当的函数”，从而去对未知参数进行估计。这样，“适当的雨数”并不是唯一的，因此就构成了不同的点估计法，常用的方法有矩法、最大似然法、子样中位数法、截尾法等。对于同一个参数，用不同的方法来估计可能得到不同的估计量，而未知量的最优估计量( 也称为最佳估计量)是估计量必须同时满足无偏性、一致性和有效性的要求。下面讨论这些性质的含意 。

估计值无偏性

估计量由随机抽取的子样决定，每一组子样得到的估计量会由于随机抽样的影响而有,所不同，所以，估计量是随机变量，我们希望估计量是在真值附近徘徊，随着子样容量n的增大，徘徊的幅度越来越小，亦即希望估计量的数学期望等于真值。所以，设未知参数的真值(理论值)为\hat{ heta }，其估计量为

估计值一致性

一致性是要求参数估计量

其中，n为子样容量。此外，若

估计值有效性

设

此外，在所有对同一参数的无偏估计量中。各估计量的方差有一个下限

数理统计理论已经证明：具有无偏性、最优性的估计量必是一致性估计量，因此，在测量平差中，对参数估值的评选标准为最优和无偏，称为最优无偏估值 。2100433B

估计值亦称估计量的实现，简称估计，是指估计量的具体数值。在进行理论分析和一般性讨论时，未知参数θ的估计量

由样本值求得的估计值，方差越小，估计值接近待估参数的概率越大，种特性称为估计的有效性 。

设

则

因为多次测定的平均值比单次测定值具有更好的精密度，因此，用平均值要比单次测定值xi作为总体均值μ的估计值更有效。在正态分布中，不知总体分布时，均值仍然可以作为分布的无偏估计值，但不是有效的。有结果(Gauss-Markov Theorem)指向这个结论，均值比总体均值μ的其他线性无偏估计值拥有更小的方差。

(1)设

为估计量的效率，且显然

(2)如果无偏估计量的效率满足

(3)如果

由于有效估计的基础上的一种估计方法，所以在介绍有效估计之前，最小方差无偏估计的概念知识需要向大家提前介绍。

无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。无偏估计常被应用于测验分数统计中 。

而具有最小方差的无偏估计的判别方法如下：

设

则无偏估计