工程数学：计算方法

第一章 插值方法

§1 Lagrange插值公式

1.1 插值问题的提法

1.2 线性插值

1.3 二次插值

1.4 n次插值

1.5 插值多项式的余项

§2 Newton插值公式

2.1 差商及其性质

2.2 Newton插值公式

§3 Hermite插值

3.1 Hermite插值公式的构造

3.2 Hermite插值余项

§4 分段插值

4.1 高次插值的Runge现象

4.2 分段低次插值

4.3 分段三次Hermite插值

§5 三次样条插值

5.1 样条函数的概念

5.2 三次样条插值

习题

第二章 最佳平方逼近

§1 正交多项式

1.1 正交函数系与正交多项式

1.2 正交多项式的性质

1.3 Legendre多项式

1.4 Chebyshev多项式

1.5 其他常用的正交多项式

§2 最小二乘拟合多项式

§3 一般最小二乘逼近问题的提法

3.1 广义多项式与权系数

3.2 一般最小二乘逼近问题的提法

3.3 正规方程组

§4用正交多项式作最佳平方逼近

4.1 Legendre多项式的应用

4.2 Chebyshev多项式的应用

习题二

第三章 数值积分

§1 数值求积公式的概念

1.1 构造求积公式的思想

1.2 求积公式的余项

1.3 代数精度的概念

1.4 求积公式的收敛性与稳定性

§2 Newton-Cotes求积公式

2.1 公式的一般形式

2.2 常用的Newton-Cotes公式

§3 复化求积公式

3.1 复化梯形公式

3.2 复化Simpson公式

§4 变步长积分法

§5 Romberg方法

§6 Gauss求积公式

6.1 问题的提出

6.2 公式的构造

6.3 Gauss求积公式的收敛性与稳定性

6.4 常用的Gauss求积公式

习题三

第四章 解线性代数方程组的直接方法

§1 Gauss消去法

1.1 Gauss消去法的基本思想

1.2 Gauss主元消去法

1.3 Gauss消去法的矩阵形式

§2 矩阵三角分解法

2.1 Doolittle分解法

2.3 平方根法

2.4 追赶法

§3 误差分析

3.1 关于方程组的解的精度

3.2 向量的范数

3.3 矩阵的范数

3.4 扰动方程组解的误差界

3.5 病态方程组的解法

习题四

第五章 解线性代数方程组的迭代法

§1 Jacobi迭代法

1.1 迭代格式的构造

1.2 Jacobi迭代法的收敛性

§2 Gauss-Seidel迭代法

2.1 Gauss-Seidel迭代格式

2.2 Gauss-Seidel迭代法的收敛性

§3 SOR迭代法

3.1 SOR迭代格式

3.2 SOR迭代法的收敛性

§4 最速下降法及共轭斜量法

4.1 最速下降法

4.2 共轭斜量法

习题五

第六章 非线性方程和方程组的迭代解法

§1 方程f（x）=O的根与二分法

1.1 方程根的概念

1.2 二分法

§2 迭代法及其收敛法

2.1 迭代格式的构造及收敛条件

2.2 迭代法的局部收敛性

§3 Aitken加速迭代法

§4 Newton迭代法

4.1 Newton迭代格式

4.2 Newton法的局部收敛性

4.3 关于重根的进一步讨论

§5 弦截法与抛物线法

5.1 弦截法

5.2 抛物线法

§6 非线性方程组的迭代解法

6.1 不动点迭代法

6.2 Newton迭代法

习题六

第七章 矩阵的特征值与特征向量

§1 问题的提出

§2 乘幂法和反幂法

2.1 乘幂法

2.2 改进的乘幂法

2.3 加速收敛技巧

2.4 反幂法

§3 实对称矩阵的Jacobi方法

3.1 Jacobi方法的基本思想

3.2 Jacobi方法及其收敛性

习题七

第八章 常微分方程初值问题的数值解法

§1 问题的提出

§2 Euler方法

2.1 Euler格式的建立

2.2 改进的Euler方法

§3 Runge-Kutta方法

3.1 Runge-Kutta方法的基本思想

3.2 二阶Runge-Kutta格式

3.3 三阶Runge-Kutta格式

3.4 四阶Runge-Kutta格式

§4 线性多步法

4.1 问题的提出

4.2 Adams格式

4.3 Adams预估校正格式

4.4 Simpson与Milne方法

4.5 Hamming方法

§5 方程组与高阶方程

5.1 一阶方程组

5.2 化高阶方程为一阶方程组

习题八

习题参考答案

参考文献

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自然科学、军事科学、社会科学以及其他科学部门的技术发展已经从定性走向了定量化，要想使我们国家的科学技术赶超发达国家的水平，首先要强化数学、发展数学。尤其在21世纪这个信息时代，各种问题以其不同的数学形式出现在各个科学部门，留给了我们一个又一个有待攻克的难题，现在数学已经到了无孔不入的境地，它的重要性不言而喻。譬如，利用小波方法可以提供各种信息的压缩技术；利用求极值的共轭梯度法可以建立经济发展的最优计划模型；利用有限元等数值手段可以预测地下的矿藏储量；就连现代医学上使用的CT技术也是以数学上的“拉东变换”为理论依据的。

本书主要讨论在工程技术等领域中常用的计算方法。这些方法是在计算机技术的基础上发展起来的，因为在许多工程问题中，我们常常要把实际问题归结为数学模型，而由于问题的复杂性，常常得不到模型的准确解，只能将它离散化后求其数值解，这个过程没有计算机是不可想象的。

众所周知，微积分是数学的重要组成部分，所研究的对象是函数。而对于函数来说，一方面除了一些简单的函数外，它的求值、求导和求积分通常都很困难；另一方面，在实际应用中，更多的函数关系是由测量或观测数值给出的。为了对这些函数进行计算，本书介绍了数值逼近方法，即用一类“简单函数”来逼近（或称代替）这些函数，使其能在计算机上容易求函数值、导数值和积分值；本书还利用这一逼近思想讨论了非线性方程的求根问题、矩阵的特征值与特征向量的计算和常微分方程初值问题的求解；特别介绍了在工程中常见的线性代数方程组的数值解法问题。在讨论这些理论和算法构造的同时，本书对算法的稳定性、收敛性以及误差估计等也做出了较详细的分析。所有这些理论和方法都是解决工程问题时必不可少的工具。

本书作为非数学专业研究生和高年级本科生的《计算方法》教材已使用多年，形成了自己的特色：

1.具有很强的使用性：取材精练，难易适中，应用广泛，可靠性强。

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另外，本书还保持了数学知识的系统性、严密性以及连贯性等特点。

·查看全部>>2100433B

《工程数学：计算方法》着重介绍了能够在计算机上得以实现的一数值解法，如各种形式的代数插值方法；在工程中经常使用的平方逼近方法、数值积分法，以及在求微分方程数值解时经常遇到的线性代数方程组的数值解法；还有解非线性方程和方程组的迭代方法、矩阵特征值与特征向量的计算以及常微分方程初值问题的各种解法。并且针对各种算法讨论了误差及其收敛性和稳定性等问题。

《工程数学：计算方法》内容丰富，取材精练，阐述严谨，脉络分明；推导翔实，重点突出。具有广泛的可读性和应用性。《工程数学：计算方法》可作为非数学专业高年级本科生和理工科研究生的教材使用，也可供从事数值计算研究的科技工作者参考。

《工程数学模型及数值计算方法》主要介绍两部分内容：一是数学建模的基本方法、基本步骤和一些常见的数学模型；二是求解数学模型的一些基本数值计算方法，包括插值法、曲线拟合、数值积分、求解方程组的迭代法、方程求根及常微分方程求解的数值方法等。本书主要结合石油工程中的实际问题引入数值计算方法，实用性强，通俗易懂。

1 数学模型基础

1.1 数学建模的基本方法和步骤

1.2 数学模型的特点与分类

1.3 数学模型实例

习题

2 数值计算方法概论

2.1 数值计算方法的研究对象和特点

2.2 数值计算方法的误差分析

2.3 病态问题、数值稳定性和避免误差危害

习题

3 插值法

3.1 引言

3.2 Lagrange插值多项式

3.3 牛顿插值

3.4 Hermite插值

3.5 分段线性插值

3.6 样条插值

习题

4 曲线拟合

4.1 引言

4.2 曲线拟合的最小二乘法

习题

5 数值积分与数值微分

5.1 引言

5.2 牛顿-柯特斯公式

5.3 复化求积公式

5.4 龙贝格求积公式

5.5 高斯公式

5.6 数值微分

习题

6 解线性方程组的直接法

6.1 引言

6.2 高斯消去法

6.3 向量和矩阵的范数

6.4 矩阵的条件数

习题

7 解线性方程组的迭代法

7.1 引言

7.2 基本迭代法

7.3 迭代法的收敛性

习题

8 非线性方程求根

8.1 引言

8.2 有根区间的判定

8.3 不动点迭代法

8.4 牛顿法

8.5 弦截法

8.6 非线性方程组求解

习题

9 常微分方程数值解法

9.1 引言

9.2 简单的数值方法

9.3 显式龙格-库塔方法

9.4 线性多步法

9.5 一阶方程组和高阶方程

9.6 边值问题的数值解法

习题

参考文献

附录A 内积

附录B 权函数

附录C 正交多项式2100433B

《工程数学》（教程）：本书是“高职高专数学改革教材”之一，包括《工程数学教程》和《工程数学学习指导》两个分册，内容分为五章：第一章，多元函数微积分；第二章，无穷级数；第三章，拉普拉斯变换；第四章，傅里叶变换；第五章，行列式、矩阵与线性方程组，书后附有拉普拉斯变换、傅里叶变换简表和习题答案，便于读者查阅。

本书可作为高职高专数学教学用书，也可供高等师范专科学校非数学专业的数学教学用书。

《工程数学》学习指导：本书是“高职高专数学改革教材”之一，包括《工程数学教程》和《工程数学学习指导》两个分册，内容分为五章：第一章，多元函数微积分；第二章，无穷级数；第三章，拉普拉斯变换；第四章，傅里叶变换；第五章，行列式、矩阵与线性方程组。每章分为五个部分，即内容提要、疑难解析、范例讲评、习题选解和综合练习。

本书可作为高职高专数学教学用书，也可供高等师范专科学校非数学专业的数学教学用书。