非线性弹性力学本构方程

本构方程在线性弹性力学中,本构方程（即应力-应变关系）只有一种形式，即给出的方程，其图像是一条直线。在非线性问题中，由于应力和应变都有多种形式，所以有多种本构方程，其图像是曲线（非线性），但加载、卸载是同一条曲线(与塑性力学不同)。究竟哪种应力跟哪种应变对应，就要从基本的本构公理（见本构关系）出发来考虑。

非线性弹性力学主要通过以下两个基本模型建立本构方程：①弹性体理想模型。该模型假设：存在各处应力为零的自然状态,初始构形就取在自然状态上,材料行为只与相对于自然状态的现时变形状态有关。可以通过两种途径来建立相应的本构方程。一种是格林方法，即从势能函数出发来得到弹性体的本构方程。弹性势是任何一个应变均可作为自变量的标量函数。具有弹性势的弹性体称为超弹性体或格林意义下的弹性体。另一种是柯西方法，从弹性体的特性即“一定的应力状态对应于一定的应变状态”出发，直接假设应力－应变函数关系，再通过实验确定其中系数。直接由这种应力－应变函数关系描述的物体叫柯西意义下的弹性体，或直接叫作弹性体。各向同性超弹性体一定是各向同性弹性体，但弹性体只有当其应力- 应变关系中的系数满足一定的关系时才是超弹性体，才具有相应的弹性势。在这个意义上说来，柯西弹性体是一个比超弹性体更为广泛的概念。②低弹性体模型。1955年特鲁斯德尔从时间变化率出发，为体现简单变率理论的理想模型而引出低弹性的概念。应力的本构导数是变形速率的线性齐次函数的物体叫作低弹性体。诺尔证明应力关系

弹性体、超弹性体都假设存在一个自然状态，而低弹性体完全不需要这个假设。低弹性理论和有限弹性应变经典理论体现不同的弹性概念，其中任何一个不能包括另一个。在几何线性、物理线性和存在自然状态的前提下，低弹性、弹性、超弹性三者等价。

非线性弹性力学的几何方程(6)和(7)是关于位移偏导数的非线性方程,所以是几何非线性的。而方程(8)和(9)是线性弹性力学中的几何方程。在非线性弹性力学中(6)和(7)是有区别的，而在线性弹性力学中(8)和(9)没有区别。

非线性弹性力学中的物理意义、数学意义与线性弹性力学中的相同。但由于几何方程比较复杂，故需要采用张量的方法，利用黎曼曲率张量在欧氏空间中为零的条件导出应变协调方程。

应力和平衡方程在变形后的构形上定义应力是最自然的，这种应力称为柯西应力(或欧拉应力)

由于有多种形式的应力。所以相应地有多种形式的动力学方程，它们都描述变形后物体构形中微体的动g量守恒条件和动量矩守恒条件。由于

变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）,在其上取笛卡儿坐标。在时刻物体所占的区域为现时构形，在其上取笛卡儿坐标。

由方程

对于有单值逆变换的情形，存在

在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则

在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则

其中u是该物质点的位移矢量,它在

必须区分使用

描述物体变形的量有变形梯度，在

其中

近代非线性弹性力学采用变形梯度作为最基本变行量，其他应变都可由它定义或导出。非线性弹性力学较常使用上述六种应变，而线性弹性力学只使用一种应变，即在

早在1894年，J.芬格就提出超弹性体的有限变形理论。有限变形理论的方程冗长、复杂，并具有强烈的非线性，当时的人们感到在数学上进行一般性的讨论没有多大希望。所以这方面的研究工作长时间进展不大。

1940年M.穆尼通过大量实验，提出某些类型的橡皮的弹性势函数表达式，从而把非线性弹性理论中难题之一的弹性势函数的形式问题向前推进了一步，并证实橡皮是几乎不可压缩的材料，使它有了进一步和发展。

1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用张量这一数学工具。

非线性弹性力学中存在两种非线性：物理非线性和几何非线性。两种非线性是彼此无关的。

非线性弹性力学物理非线性

物理非线性,即应力-应变关系中的非线性。橡皮、高分子聚合物和生物软组织等材料的应力-应变关系中有这种非线性。

非线性弹性力学几何非线性

几何非线性,即应变-变形梯度关系中的非线性。在薄板、薄壳、细杆、薄壁杆件的大变形问题和稳定问题中存在几何非线性。

非线性弹性力学中的各变分原理都可从虚功原理统一导出，方法和步骤同线性弹性力学中的相同。非线性弹性力学的应力、应变形式多种多样，对应的变分原理的形式也比线性弹性力学中多。在非线性弹性理论中，是否存在线性理论中那种应力场是唯一独立变量的余能原理，是一个近年来引起广泛兴趣的问题。平衡方程中应力与位移的耦合，使这一问题至今尚未彻底解决，甚至问题的这种提法是否恰当也有待研究。

为了使读者在掌握非线性弹性力学、板壳大变形理论及流体力学等知识的基础上，了解耦合场理论中流体与弹性体相互作用下的流固耦合问题的基本概念、基本原理和计算方法，进而掌握解决耦合场作用下的非线性弹性变形问题的解题方法，白象忠、郝亚娟、田振国所*的《板壳非线性流体弹性力学（精）》一书在流体弹性力学所研究的问题中，将重点介绍以下几方面内容：（1）给出流体弹性力学问题的非线性状态方程，以解决可变形物体的大变形问题，并进一步给出简化的关系式。（2）介绍描述相互作用的任意拉格朗日-欧拉法、相容拉格朗日-欧拉法、单一拉格朗日法、单一欧拉法，以及求解时需要的各种条件。（3）给出流体弹性力学的分类及其简化的方程组，其分类的基础是弹性体的变形场、流体的速度场及压力场的可变性；在求解各类构件的流固耦合问题中，重点介绍相容拉格朗日-欧拉法的算法，并给出相应的算例。（4）将非线性流体弹性动力学问题深入到混沌、分岔的研究领域中。研究流固耦合的典型问题，如气缸缸底、管状柔性弹性体中的混沌运动分析与分岔现象。 2100433B

液体、气体的运动与弹性结构的相互作用是用流体弹性力学理论来描述的。由于其交叉性质，在许多学科和工程领域中，流体弹性力学之课题都成了主要的研究内容，并被广泛应用。在流体与弹性体相互作用的非线性问题分类的基础上，本书重点介绍：求解流体弹性力学问题的相容拉格朗日－欧拉法；流体弹性力学的基本方程，建立介质接触表面问题的必要条件；板壳同液体相互作用非线性问题的计算方法及应用算例；将非线性流体弹性动力学问题深入到混沌、分岔的研究领域之中。本书是从事航空、航天、船舶设计、仪器仪表、流体机械、水下工程、机械设计制造等领域的工程技术人员及科研工作者，在研究流体作用下的板壳强度、刚度和稳定性计算时的必备参考读物，同时也是高等院校力学、物理、机械设计等相关专业的教师、研究生、本科生的参考用书。

第1 章绪论 1

1. 1 非线性流体弹性力学与流固耦合 1

1. 1. 1 线性流体弹性力学与非线性流体弹性力学 1

1. 1. 2 非线性流体弹性力学的特征 2

1. 1. 3 非线性流体弹性力学的研究内容 3

1. 1. 4 流体弹性力学分类原则与分类方法 3

1. 2 非线性流体弹性力学的研究方法 4

1. 2. 1 描述介质相互作用的四种方法 5

1. 2. 2 理论分析法 6

1. 2. 3 实验分析法 6

1. 2. 4 半解析法 6

1. 2. 5 数值分析法 7

1. 3 工程领域中的非线性流体弹性力学问题 8

1. 3. 1 非线性气动弹性力学问题 8

1. 3. 2 非线性水弹性力学问题 9

1. 3. 3 非线性生物流体弹性力学问题 10

1. 3. 4 环境流体弹性力学问题 10

1. 3. 5 微尺度流体弹性力学问题 11

1. 3. 6 涡激振动问题 11

1. 4 非线性流体弹性力学发展所面临的任务 11

参考文献 12

第2 章流体力学基本方程 14

2. 1 流体运动学基础 14

2. 1. 1 拉格朗日法（质点法） 14

2. 1. 2 欧拉法（空间点法） 15

2. 1. 3拉格朗日描述与欧拉描述的互为转换 17

2. 1. 4连续方程 19

2. 1. 5 流函数与速度势 22

2. 1. 6 源或汇 25

2. 1. 7 偶极 26

2. 2 理想流体动力学基本方程 26

2. 2. 1 欧拉运动微分方程 26

2. 2. 2 伯努利积分（定常运动沿流线的积分） 27

2. 2. 3 拉格朗日积分（非定常无旋运动的积分） 29

2. 2. 4 定常流动中的动量和动量矩定理 29

2. 3 用应力表示的运动微分方程 30

2. 4 纳维尔 －斯托克斯方程（N － S 方程） 31

2. 5 任意变形坐标系下的公式 32

2. 6 突变表面的边界条件 34

参考文献 35

第3 章板壳力学基本方程 36

3. 1 弹性壳体变形的基本关系 36

3. 1. 1 坐标系的建立 36

3. 1. 2 弹性壳体变形的基本关系式 36

3. 1. 3 弹性壳体表面的变形 39

3. 2 微分单元体的应力状态及力学基本方程 43

3. 2. 1 微分单元体的应力状态 43

3. 2. 2 广义胡克定律 44

3. 2. 3 弹性关系 45

3. 2. 4 边界条件 46

3. 3 弹性壳体的平衡方程 47

参考文献 49

第4 章非线性流体弹性力学的理论基础 50

4. 1 介质相互作用的描述方法 50

4. 2 求解流固耦合问题的四种方法 52

4. 2. 1 相容拉格朗日 －欧拉法（ULE 法） 52

4. 2. 2 任意拉格朗日 －欧拉法（ALE 法） 53

4. 2. 3 单一拉格朗日法（SL 法） 54

4. 2. 4单一欧拉法（SE 法） 54

4. 2. 5关于四种方法的应用 54

4. 3 相容拉格朗日 －欧拉法 56

4. 3. 1 接触面的运动学条件和动力学条件 56

4. 3. 2 初始表面接触条件 59

4. 4 流体弹性力学问题的分类 61

4. 4. 1 参数 m，n，k 和 λ，δ 的引入 61

4. 4. 2 流体弹性力学问题的分类方法 61

4. 4. 3 大应变问题 62

4. 4. 4 小应变小转动，且应变的大小与转动的平方同量级 63

4. 4. 5 小应变小转动问题 64

4. 4. 6 流体弹性力学分类的简化准则 66

4. 5 流体与壳体的相互作用 68

4. 5. 1 壳体在大弯曲时的相互作用 68

4. 5. 2 壳体中等弯曲时的相互作用 69

4. 5. 3 壳体小弯曲时的相互作用 71

4. 6 可渗透壳体和流体的相互作用 72

4. 6. 1 接触面上的运动条件 73

4. 6. 2 接触面上的动力条件 74

4. 7 壳体和黏性流体之间的相互作用 75

4. 8 单一拉格朗日法 76

4. 8. 1 单一拉格朗日法的特点 77

4. 8. 2 表面接触条件 79

参考文献 81

第5 章相容拉格朗日 －欧拉法求解弹性薄壳的变形 83

5. 1 弹性圆柱薄壳绕流的小变形 83

5. 1. 1 问题描述 83

5. 1. 2 方程组的建立 83

5. 1. 3 方程组的求解 85

5. 1. 4 小弯曲问题中的壳体内力、流场压力系数与流场函数 87

5. 2 弹性圆柱薄壳绕流的中等变形 88

5. 2. 1 方程组的建立 88

5. 2. 2 方程组的求解 89

5. 2. 3 中等弯曲问题中的壳体内力与流场函数 90

5. 3弹性圆柱薄壳绕流的大变形 91

5. 3. 1方程组的建立 91

5. 3. 2 方程组的求解 92

5. 3. 3 大弯曲问题中的壳体内力与流场函数 94

5. 4 圆柱壳绕流变形问题的算例 94

5. 4. 1 特定参数下壳体位移及内力 95

5. 4. 2 流场分布 96

5. 4. 3 壳体变形和表面流体压力系数随相关参数的变化 97

5. 5 流固耦合问题的数值模拟 103

5. 5. 1 结构设置、界面标定及计算结果的后处理 103

5. 5. 2 数值解和理论解的比较分析 107

5. 6 固支浅拱形弹性壳绕流的小弯曲变形 109

5. 6. 1 求解浅拱形弹性壳体在流场中的小弯曲变形 110

5. 6. 2 算例分析 114

5. 7 固支浅拱形弹性壳绕流的中等弯曲变形 116

5. 7. 1 求解浅拱形弹性壳体在流场中的中等弯曲变形 116

5. 7. 2 算例分析 119

5. 8 固支浅拱形弹性壳绕流的大弯曲变形 121

5. 8. 1 求解浅拱形弹性壳体在流场中的大弯曲变形 121

5. 8. 2 算例分析 126

5. 9 简支浅拱形弹性壳绕流的大弯曲变形 129

5. 9. 1 基本方程组的建立 129

5. 9. 2 方程组的解析解 130

5. 9. 3 算例分析 132

5. 10 弹性圆锥壳绕流的变形 134

5. 10. 1 刚性圆锥壳绕流 134

5. 10. 2 弹性圆锥壳流固耦合的解析解 140

5. 10. 3 算例分析 144

5. 10. 4 数值模拟 145

参考文献 147

第6 章相容拉格朗日 －欧拉法求解弹性薄板的变形 148

6. 1 简支梁式弹性薄板横向绕流的变形及应力分析 148

6. 1. 1 基本关系式 148

6. 1. 2 解析解 149

6. 1. 3算例及参数分析 152

6. 1. 4数值模拟 156

6. 2 固支弹性圆平板的变形 158

6. 2. 1 解析解 158

6. 2. 2 算例及参数分析 162

6. 2. 3 数值模拟 165

6. 3 弹性梁式薄板横向绕流的大变形 167

6. 3. 1 弹性悬臂梁式薄板大变形的解析解 167

6. 3. 2 算例及参数分析 170

6. 3. 3 数值模拟 173

参考文献 174

第7 章相容拉格朗日 －欧拉法求解渗透壳的变形 175

7. 1 可渗透圆柱壳流固耦合分析 175

7. 1. 1 不考虑中性面曲率改变时的关系式 175

7. 1. 2 考虑中性面曲率改变时的关系式 177

7. 1. 3 可渗透圆柱壳体的内力 179

7. 1. 4 算例分析 180

7. 1. 5 数值模拟 182

7. 2 可渗透球壳的流固耦合分析 183

7. 2. 1 渗透球壳在黏滞流体中的耦合方程 183

7. 2. 2 摄动法解可渗透球壳的流函数 185

7. 2. 3 球壳的位移及内力 190

7. 2. 4 算例分析 190

参考文献 192

第8 章单一拉格朗日法的应用 193

8. 1 贮箱隔层板的变形 193

8. 1. 1 隔层板的耦合方程 193

8. 1. 2 隔层板静态问题的解 194

8. 1. 3 算例分析 196

8. 1. 4 数值模拟 199

8. 2 贮箱隔层板的振动 200

8. 2. 1 问题描述 200

8. 2. 2 位移解的函数形式 200

8. 2. 3隔层板上下表面压力差的确定 201

8. 2. 4动力方程的解 201

8. 2. 5 算例分析 202

8. 3 气缸弹性缸底的混沌运动分析 206

8. 3. 1 气体运动方程 207

8. 3. 2 气缸弹性缸底运动方程的建立 208

8. 3. 3 混沌运动分析 210

8. 4 双层圆筒的混沌运动分析 213

8. 4. 1 气体运动方程 213

8. 4. 2 外层圆筒运动方程 214

8. 4. 3 流固耦合运动方程的建立 214

8. 4. 4 混沌运动分析 216

参考文献 221

第9 章椭圆柱壳的绕流分析 222

9. 1 椭圆柱壳绕流函数的建立 222

9. 1. 1 椭圆柱绕流的复势 222

9. 1. 2 椭圆柱绕流和压力场的分析实例 223

9. 1. 3 绕拱形板的无环流动 226

9. 1. 4 椭圆柱壳面的压力分布 228

9. 2 弹性椭圆柱壳的变形 228

9. 2. 1 椭圆柱壳的变形分析 229

9. 2. 2 圆柱壳的变形 230

9. 2. 3 圆柱与椭圆柱壳的变形比较 231

9. 3 基于 Fluent 的椭圆柱壳绕流问题的数值模拟 232

9. 3. 1 椭圆柱绕流的数值模拟 232

9. 3. 2 数值解与理论解的比较 234

9. 4 绕椭圆柱壳流动耦合问题的数值分析 235

9. 4. 1 弹性椭圆柱壳绕流耦合问题的描述 235

9. 4. 2 椭圆柱壳的变形及应力分析 236

9. 4. 3 弹性拱壳的绕流分析 238

参考文献 238

第10 章柔性薄壁管的流固耦合非线性问题 240

10. 1 柔性薄壁管的混沌运动分析 240

10. 1. 1血液流动运动方程 240

10. 1. 2动脉管壁运动方程 241

10. 1. 3 流固耦合运动方程 242

10. 1. 4 混沌运动分析 243

10. 2 血管狭窄处管壁变形及应力分析 250

10. 2. 1 局部狭窄脉动流的分析 251

10. 2. 2 狭窄血管管壁的变形及应力分析 254

10. 2. 3 狭窄处植入支架的分析 262

10. 2. 4 斑块与管壁材料特性对血管变形及应力的影响 264

10. 2. 5 局部狭窄处植入支架后的力学分析 272

10. 3 颈动脉血管硬化的力学分析 274

10. 3. 1 颈动脉狭窄处的血压波动方程 274

10. 3. 2 血管壁沿轴向的变形与应力分析 279

10. 3. 3 血管壁材料参数对血管变形的影响 280

10. 3. 4 动脉硬化力学指标的建立 281

参考文献 282