非负定矩阵定义

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x)为正定(半正定)二次型。

相应的，正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为:

令A为 n 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，则称A正定(半正定)矩阵;反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0)， 则称A负定(半负定)矩阵。

例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法:

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明:若 ， 则有

∴λ>0

反之，必存在U使

即

有

这就证明了A正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负。

2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

证明:A正定

二次型 正定

A的正惯性指数为n

3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵)。

证明:n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

令 则

令 则

反之，

∴A正定。

同理可证A为半正定时的情况。

4.n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 。

证明:(1)∵n阶对称矩阵A正定

∴ 是正定二次型

现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩阵C ，使

5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。

证明:必要性:

设二次型 是正定的

对每个k,k=1,2,…,n,令

，

现证 是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数 ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩阵

是正定矩阵

即

即A的顺序主子式全大于零。

充分性:

对n作数学归纳法

当n=1时，

∵ ， 显然 是正定的。

假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分块写成

∵A的顺序主子式全大于零

∴ 的顺序主子式也全大于零

由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

两边取行列式，则

由条件 得a>0

显然

即A合同于E ，

∴A是正定的。

1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足。

即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

1.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

2.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

3.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

注:3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如:

矩阵 的顺序主子式 ，但A并不是半正定的。